Monge-Ampere方程式に対する解の特異性について

1996 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 07640261
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Kyoto Sangyo University
• Principal Investigator: 辻 幹雄 京都産業大学, 理学部, 教授 (40065876)
• Keywords: Monge-Ampere方程式 / 曲率 / 特異点

Research Abstract

Monge-Ampere方程式の解の特異性の構造について考察した。これは2階非線型偏微分方程式である。この種の形の方程式は数理物理学において頻繁に現れる非線型波動方程式をはじめ、局面論の曲率の解析に現れる方程式も含む為、いろいろな見地からの研究がある。我々は方程式が退化していない場合に、初期値問題について考えた。初期曲線が非特性的であるならば、局所解が存在することは古典理論の一つである。我々の興味は双曲型の場合に於ける大域論である。大域論の展開が難しい理由は古典解を延長していくと、特異性が現れる為である。解の特異性を研究する理由は特異性がいろいろな興味深い現象を現しているからである。例えば地震波とか衝撃波はまさに解の特異性としてとらえることが出来る。この様な動機のもとに我々の主たる目的はその解の特異性の構造を決定することであり、或るクラスに対しては成功した。今年度は先ずその結果を曲面論に応用した。そして特異点が現れた後、どの様に曲面を一意的に延長していくかについて議論した。多少の成果を得た。次に我々の方法を非線型型波動方程式に応用した。これまで古典解のLife-spanに関しては沢山の研究があるが、特異点が現れた後、どの様に解を延長していくかについては殆ど研究がない。我々の特色である幾何学的方法は時には解を明解な形に表現することを可能にする。こうして得られた解の形を検討していると、これまでに用いられてきた弱解の概念に疑問が湧いてきた。我々の解は具体的であるだけに説得力があると信じている。現在、弱解の意味を出発点に立ち帰って検討を重ねている最中である。

Research Products

• [Publications] Mikio TSUJI: "Singularities of solutions of Monge-Ampere equations." Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 19. 71-79 (1995)
• [Publications] Mikio TSUJI: "Formation of singularities for Monge-Ampere equations." Bulletin des Sciences mathematiques. 119. 433-457 (1995)
• [Publications] Mikio TSUJI: "Extension of solutions for Monge-Ampere equations of hyperbolic type." Publications of Banach Center. 33. 437-447 (1996)
• [Publications] Mikio TSUJI: "Singularities of surfaces defined by Monge-Ampere equations of hyperbolic type." Proceedings of the Sixth International Colloquium on differential equations.321-328 (1996)
• [Publications] Mikio TSUJI: "Monge-Ampere equations and surfaces with negative Gaussian curvature." To appear in "Publications of Banach Center".
• [Publications] Mikio TSUJI (with T.D.Van and N.Hoanq): "On Hopf's formula for Lipschitz solutions of the Cauchy problem for Hamilton-Jacobi equations." To appear in "Nonlinear Analysis".