Monge-Ampere方程式に対する解の特異性について

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 07640261
• Research Institution: Kyoto Sangyo University
• Principal Investigator: 辻 幹雄 京都産業大学, 理学部, 教授 (40065876)
• Keywords: Monge-Ampere方程式 / 非線型波動方程式 / 曲率 / 特異点 / 衝撃波

Research Abstract

Monge-Ampere方程式に対する初期値問題について考察した。昨年までと大きく異なる点はDarboux,及びGoursatにより導入された積分可能条件を仮定していないことである。この種の形の方程式は数理物理学において頻繁に現れる非線型波動方程式をはじめ、局面論の局率の解析に現れる方程式も含む。従って、いろいろな立場から膨大な研究がある。上記の初期値問題に対して、初期曲線が非特性的であるならば、局所解が存在することは古典理論の一つである。我々の興味は双曲型の場合に於ける大域論であるが、満足出来る大域理論はまだ現れていない。大域理論の展開が難しい最大の理由は古典解を延長していくと、特異性が現れる為である。解の特異性を研究する理由は特異性がいろいろな興味深い現象の原因となっている場合が多いからである。例えば地震波とか衝撃波はまさに解の特異性としてとらえることが出来る。我々のこの課題に対する手法は解曲面を″cotangent space″に持ち上げ、そして特異点を解消するのである。この為には『或る1階双曲型方程式系』を解くことが不可欠であること、そしてそれを解くことは大変難しいことが判った。しかし最近、或る非線型波動方程式の場合には、その方程式系が具体的に、しかも大域的に解けることが判った。これと関連する″p-system″(或る1階双曲型保存系)に対しても同様である。我々の解は具体的であるだけに説得力があると信じている。こうして得られた解の形を検討していると、これまでに用いられてきた弱解の概念にも疑問が湧いてきた。現在、弱解の意味を出発点に立ち帰って検討を重ねている。この成果の一部を″Geometric solutions of nonlinear wave equations and its applications″のタイトルの下に論文を書いている最中である。

Research Products

• [Publications] Mikio TSUJI: "Monge-Ampere equations and surfaces with negative Gaussian curvature." Banach Center Publications. 39. 161-170 (1997)
• [Publications] Tran Duc Van: "On Hopf's for mula for Lipschitz solutions of the Cauchy problem for Hamilton-Jacobi equations." Nonlinear analysis. 29. 1145-1159 (1997)
• [Publications] Mikio TSUJI: "Geometric approach to blow-up phenomena in nonlinear problems." ″Real analytic and algebraic singularities″ edited by T.Fukuda,et al(Longman,UK). 164-180 (1998)
• [Publications] Mikio TSUJI(with H.T.Ngoan): "Integration of Monge-Ampere equations and Surfaces with negative Gaussian Curvatute" Technical report No.97-36,Hanoi Institute of Mathematics.Hanoi,Vietnam). (1997)