幾何学的模型とその応用

1996 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 07640526
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 和達 三樹 東京大学, 大学院・理学系研究科, 教授 (60015831)
• Keywords: 幾何学的模型 / 可積分模型 / 離散的可積分模型 / フレネ・セレ公式 / ベリ-位相 / 曲線の運動 / 曲面の運動 / 弾性ひもの運動

Research Abstract

1)3次元ユークリッド空間内の曲線について、従来の幾何学的模型とは異なる新しい模型を用いて研究した。この新しい模型では、曲線の運動は加速度場によって決定される。曲線の内在的な量(計量、曲率、摂率)がみたすべき時間発展方程式を提出した。また、得られた時間発展方程式の物理的応用として、2次元平面内の弾性ひもの運動を議論した。
2)高分子やDNAの運動を扱う場合、系の離散性を無視することはできない。そこで、離散的な曲線を記述する離散的フレネ・セレ公式を導入した。そして可積分系による最も簡単な例として、連続な場合に曲率に相当する量が離散的mKdV方程式をみたすことを示した。これは、離散的フレネ・セレ公式が離散的AKNS形式に含まれるためである。三角分割された曲面についても離散的mKdVヒエラルキーや離散的非線形シュレディンガー方程式をみたすことを示した。この運動を通して、ガウス・ボンネの定理と可積分方程式の関係を調べた。
3)離散化された曲線の運動と幾何学的位相の関係を調べた。この関係を用いて、ポントリャ-ギン指数の離散化された表現を得た。また、この表現はベリ-位相の表現にもなっていることを示した。この理論を磁性体に応用することにより、非線形シグマ模型にチャーン・サイモン項と新しい項が加わった模型を構成した。
以上のように、離散系における幾何学的模型についての研究が発展できた。

Research Products

• [Publications] M.Hisakado: "Integrable Dynamics of Discrete Surface II" Journal of Physical Society of Japan. 65. 389-393 (1996)
• [Publications] M.Hisakado: "Moving Discrete Curve and Geometric Phase" Physics Letters A. 214. 252-258 (1996)