1997 Fiscal Year Annual Research Report
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07640526
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
和達 三樹 東京大学, 大学院・理学系研究科, 教授 (60015831)
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| Keywords | 幾何学的模型 / 曲線短縮方程式 / 幾何学的位相 / 離散化 / 離散曲線の運動 / 離散的可積分方程式 / 離散的セレ・フレネ方程式 / 結晶成長模型 |
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| Research Abstract |
1)平面上での離散曲線(区分的に線分で表わされる曲線)の運動を考える。セレ・フレネ方程式、曲線の速度ベクトルの法線方向と接線方向への分割、速度ベクトルの運動規則等は、すべて離散化され、“曲率"に対する微分-差分方程式が得られる。特に、離散化されたセレ・フレネ方程式とAblowitz-Landik固有値問題の関係は興味深く、離散的可積分発展方程式がどのように理論に含まれるかを説明している。
2)空間曲線の時間発展は、幾何学的位相(Berry位相)と関連づけることができる。この議論を、離散曲線に対して拡張した。全位相は、ポントリャ-ギン指数の離散的一般化となる。この定式化を、古典並びに量子ハイゼンベルグ鎖に適用し、可積分性との関連、非線形シグマ模型のトポロジー項を議論した。
3)新しい幾何学的模型として、曲線の加速度場が内在的性質(曲線、ねじれ率等)で指定される模型を提出した。この模型は、時間反転不変性を持つ系を記述するのに適している。応用例として、1次元素と2次元系の運動、弾性棒の運動、3次元系の運動を議論した。1次元系では、計量がブシネ方程式をみたす運動が含まれている。
4)曲線短縮方程式(Curve shortening equation)を離散化することに成功した。この方程式は、数学的にも、また応用面でも、最もよく研究されている幾何学的模型である。曲線短縮方程式は非可積分系であるので、その離散化は任意であり、何らかの方針の下に行わなければならない。条件として、超曲面上でのラプラス演算子との対応、トポロジー的性質、を考慮することにより、曲線短縮方程式の性質を保つように離散化することができた。この離散的曲線短縮方程式では、辺同士が交わらない任意の多角形は有限時間で面積が0になるように収縮する。また、収縮する際には、等角多角形になりことが予想される。
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[Publications] M.Hisakado: "Moving discrete curve and geometrical phase" Physics Letters A. 214. 252-258 (1996)
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[Publications] M.Hisakado: "Integrable dynamics of discrete surfaces II" J.Phys.Soc.Jpn. 65. 389-393 (1996)
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[Publications] T.Tsurumi: "Motion of curves specified by accelerations" Physics Letters A. 224. 253-263 (1997)
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[Publications] K.Nakayama: "A discrete curve-shortening equation" Math.Appl.Anal.4. 162-172 (1997)
