周期写像の研究

1995 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 07740026
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 佐竹 郁夫 大阪大学, 理学部, 助手 (80243161)
• Keywords: 単純楕円型特異点 / Jacobi型式 / テ-タ関数

Research Abstract

単純楕円型特異点の普遍変形に対応する周期積分の逆写像を記述する問題について研究している。これについて、、フラット構造および、その上の結合代数の構造(Dubrobinの言葉でいう、Frobenius構造)を用いて、研究した。これについて、まず、ヤコビ形式の満たす非線形微分方程式を、表現論の結果(単純リー環の表現の、テンソル積分解)を用いることにより、導出した。これを用いて、フラット不変式をヤゴビ形式と、上半平面上の線形常微分方程式の解を用いて記述した。
しかるのちにヤコビ形式のみたす線形微分方程式を用いることにより、熱方程式の解である、テ-タ関数との関係を記述した。さらに、モジュラー群の作用を用いることにより、フラット不変式のヤコビアンの満たす線形微分方程式を導出し、これを用いて、アフィンリー環の指標との関係を記述した。また、これから、上記の結合代数の構造も決定できる。これらは、特異点に対応する物理の位相的場の理論における、プレポテンシャルの周期領域からの記述を意味し、さらに、Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde方程式を、保型形式のみたす微分関係式(特別な場合においては、テ-タ級数の満たす、Halphenの微分方程式と同値)として、記述することができた。
この結果、部分的に、フラット不変式が非負整数係数で、フーリエ展開できること、プレポテンシャルも整数係数で展開できることがわかる。最近、富山大学の細野氏らにより、カラビ=ヤオ多様体の族について、シグマモデルとよばれる、位相的場の理論についての、プレポテンシャルの計算が、やはり、カラビ=ヤオ多様体の周期からの関数として、記述がされているが、ここでもやはりプレポテンシャルをフーリエ展開したときに整数係数で展開できることがわかり、今後の進展を期待できる類似が発見できた。