1995 Fiscal Year Annual Research Report
半順序集合による盤と表現論、組合せ論的偏微分方程式
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07740037
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| Research Institution | The University of Aizu |
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Principal Investigator |
浅井 和人 会津大学, コンピュータ理工学部, 講師 (20264567)
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| Keywords | ヤング図形 / 盤 / ヤコビートル-ディ恒等式 / ラティスパス法 / リンドストレームの定理 / オーダーイデアル / パフィアン |
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| Research Abstract |
本年度は、主としてジグザグ半順序集合および、奇分岐ツリーの、オーダーイデアルによる盤(イデアル盤)を考え、これにまつわるヤコビートル-ディ型恒等式を研究した。
ジグザグ半順序集合のイデアル盤についての結果は、ブール盤に関する結果のもっとも重要な応用である。これについては、盤の平面分解に対応して、見かけ上全く異なるような等式が導かれるという、ハメル-グルデンの結果が、この場合に拡張できるかを調べ、肯定的結論に達した。この結果の定式化を現在進めている。ここで、特に盤を水平に分割したときには、通常のヤコビートル-ディ型等式の拡張が得られるので、この結果が、そのさらに広い一般化となっていて、その他、ギアンベリ行列式、リボン行列式などを含んで余りあるものである。ハメル-グルデンの結果自体は、シュウア関数の間の種々の行列式による公式となるが、本研究によれば、これが、ジグザグ半順序集合のイデアル盤の母関数の間の、行列式による公式に拡張できるということがわかった。
同様に、奇分岐ツリーの場合にもこの方向の拡張が考えられるが、この場合には、ジグザグ半順序集合の場合ほど無制限な拡張はできないことがわかった。しかし、ギアンベリ行列式の拡張は、考えることができる。奇分岐ツリーの場合のヤコビートル-ディ型公式は、高次元(偶数)の行列式で表される定理となり、これに関連して、ツリーパス(パスの拡張)の和を求める問題が現れる。それは、2次元の場合の、ステンブリッジ-岡田の公式の高次元化として解決された。
多変数不定関数の合成の問題については、双微分環による方法を試みているが、難航しており、より直接的に、高階微分を、合成の図式におけるある種のパス(の拡張)でおきかえて、パスの代数を導入することも考えらている。
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