楕円コホモロジー論の研究

1996 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 08404002
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 西田 吾郎 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00027377)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 丸山 正樹 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50025459) ; 清水 勇二 京都大学, 大学院・理学研究科, 講師 (80187468) ; 吉田 敬之 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40108973) ; 深谷 賢治 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30165261) ; 河野 明 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00093237)
• Keywords: 楕円コホモロジー論 / ホモトピー論 / 楕円曲線 / 保型形式 / 形式群 / ホップ代数 / 分類空間 / 楕円種数

Research Abstract

楕円コホモロジー論は楕円種数をホモトピー論的に表現するため、Landweber等によって楕円曲線の普遍形式群を用いて定義された。楕円コホモロジー論はその後、MITのHopkins等によって精力的に研究がなされ、例えばそれが1つのコホモロジー論と云うより楕円曲線のモデュライ上で定義される理論の族として構成されること、あるいは楕円コホモロジー論の意味でorientableな多様体の特徴付けとWitten種数のホモトピー論的構成等が最近の成果である。一方、我々の研究グループでは楕円コホモロジー論を媒介として、ホモトピー論と楕円曲線あるいは保型形式の理論との関係について研究を行った。具体的な成果としては、まず位数がNの有限巡回群の分類空間の楕円コホモロジー群とレベルNの保型形式の環がある意味で同一視できることが示された。Nが無限大に行くとき、この楕円コホモロジー群は楕円コホモロジー論の形式群を表わす形式ホップ代数を近似することから、この結果は楕円コホモロジー論の形式群、従って楕円コホモロジー論そのものが原理的には保型形式の環のガロア拡大の理論から構成される可能性を示している。また関連する結果としては、一般に高さがnのLubin-Tateコホモロジー論において、位数がNの有限巡回群のn個の直積の分類空間のコホモロジー群における線形群の表現が、係数環の形式群におけるN-倍多項式の分解体のガロア表現と密接に関係することを示した。今後の研究課題としては例えば上に述べた線形群の表現のEichler-Shimuraコホモロジーを決定することが考えられる。

Research Products

• [Publications] G.Nishida: "A duality theorem in Hopf algebras and its application to Morava K theory of BZ/p" J.Math.Kyoto Univ.36. 1-8 (1997)
• [Publications] A.Kono: "A Remark on the homotopy type of certain gauge groups" J.Math.Kyoto Univ.36. 115-121 (1996)
• [Publications] K.Fukaya: "Morse Theory and Chern Simons Perturbation theory" Commun.Math.Phys. 181. 37-90 (1996)
• [Publications] H.Yoshida: "On absolute CM-periods" 数理解析研究所講究録. 965. 87-133 (1996)
• [Publications] M.Maruyama: "Construction of moduli spaces of stable sheave via Simpson's idea" Proc.of Taniguchi Symp.“Moduli of Vector Bundles". 147-188 (1996)
• [Publications] Y.Shimizu: "KZB equations of higher genera" 代数幾何学シンポジウム報告集. 100-107 (1996)