負曲率をもつ空間と群の幾何学

1996 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 08454020
• Research Institution: KYUSHU UNIVERSITY
• Principal Investigator: 山口 孝男 九州大学, 大学院・数理学研究科, 教授 (00182444)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 西 晴子 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助手 (90274430) ; 横田 佳之 九州大学, 大学院・数理学研究科, 講師 (40240197) ; 鎌田 正良 九州大学, 大学院・数理学研究科, 教授 (60038495) ; 加藤 十吉 九州大学, 大学院・数理学研究科, 教授 (60012481) ; 塩濱 勝博 九州大学, 大学院・数理学研究科, 教授 (20016059)
• Keywords: アレクサンドロフ空間 / 単体的体積 / 等長変換群 / 収束理論

Research Abstract

主に負曲率をもつ特異空間、アレクサンドロフ空間に対する単体的体積、等長変換群について考察した。また、これら特異空間の幾何学をリーマン幾何学に適用することにより、3次元リーマン多様体の収束理論を確立した。その具体的成果は次の通りである。 1)一般化された擬多様体に対してその基本ホモロジー類のmassと体積が一致することを示し、負曲率アレクサンドロフ空間の単体的体積(Gromov invariant)と曲率,体積との関連を明らかにし、Gromov-Thurstonの不等式の一般化が、特異点集合の余次元が1の場合にも得られた。現在、双曲化された多面体やorbifoldsの単体的体積の計算手法を開発中である。 2)曲率が上に有界であるアレクサンドロフ空間の等長変換群を考察し、境界と交わらないコンパクト集合を不変にする様な部分群は、コンパクト集合の等長変換群と見なすとき、リー群となることを見出した。この結果を基にして、等長変換群がリー群とはならない場合には、アレクサンドロフ空間の特異性がどのようにその等長変換群に影響するかについて、樹木の等長変換群との類似性を見出した。更に、応用として、単連結非正曲率特異空間の理想境界がTitz距離に関してコンパクトである場合に、その空間の等長変換群がリー群となる事を示した。 3)断面曲率が一様に下に有界である3次元リーマン多様体達の崩壊現象について、塩谷隆氏との共同研究により明らかにした。具体的には、極限の次元に関する帰納的な議論、距離関数の特異点に関する手法を見出すことにより、極限の特異空間を用いて、崩壊していく3次元多様体を記述することが可能となった。 4)曲率【less than or equal】-1,直径や単射半径の条件下で空間達のホモトピー型有限性を示すことが出来た。現在これをstratificationの体積に関する条件下で同相型の有限性に拡張しよう

Research Products

• [Publications] Takao Yamaguchi: "Development of convergence theory for Riemannian manifolds." Sugaku. 47. 46-61 (1995)
• [Publications] Katsuhiro Shiohama: "Cut loci and distance spheres on Alexandrov surfaces" Seminair es et Congres,Collection SMF. No.1. 531-560 (1996)
• [Publications] Masayoshi Kamata: "On multiple points of a self-transverse immersion" Kyusyu Journal of Mathematics. 50.2. 275-283 (1996)
• [Publications] Yoshiyuki Yokota: "Topological invariants of graphs in 3-space" Topology. 35. 77-87 (1996)
• [Publications] Haruko Nishi: "Pentagonal Structure of the configuration space of five points in the real projective line II" (in preparation).