解析的整数論の研究

1996 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 08640024
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 松本 耕二 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (60192754)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 鍛島 康裕 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (70240801) ; 鈴木 浩志 名古屋大学, 理学部, 講師 (70235993) ; 谷川 好男 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50109261) ; 伊藤 博 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (30168372) ; 北岡 良之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40022686)
• Keywords: ゼータ関数 / L関数 / 二乗平均値 / アトキンソン公式 / ガウス和 / 二次形式

Research Abstract

主要な成果はゼータ関数の平均値理論についてのものである。Dirichletの約数問題の残余頃△_<1-2σ>(x)と、Riemannゼータ関数の2乗平均の残余頃Eσ(T)(1/2【less than or equal】σ<1)との間のアナロジーを、Voronoi及びAtkinsonの公式を用いて追求し、Eσ(T)の精密な評価(Ivic-松本)、△(x)の積分の残余頃の挙動の詳細な解析(古屋-谷川)、ζ^2(S)の近似関数等式の残余頃の高次巾平均(木内-松本)などにおいて新しい結果を得た。またAtkinsonの方法のひとつの変形として、ここ数年来松本が桂田昌紀氏(鹿児島大)と共に展開している方法があり、とくにこの方法をHurwitzゼータ関数のパラメーターに関する2乗平均に適用して,J.AnderssonやW.-P.Zhangの結果(1992-94)をさらに改良した漸近展開式を証明した.これはKoksma-Lekkerkerker(1952)以来のこの問題にほぼ最終的な結着を与えるものである。さらに松本はBarnesの二重ゼータ関数を一般化したものに類似の方法を適用することで、パラメーターWに関する漸近展開式を示し、これによって実2次体のHeckeのL関数の1での値についての漸近公式をも証明した.平均値理論とはなれて、楕円L関数の零点の計算及び佐藤-Tate予想とRiemann予想との関係についての研究(秋山-谷川),2次形式及びGLnの数論的部分群についての代数的立場からの結果(北岡、鈴木),Gauss和との関連(伊藤)などに新知見を得た。

Research Products

• [Publications] A.Ivic-K.Matsumoto: "On the error term in the mean square formula for the Riemann zeta-function in the critical strip" Monatsh.Math.121. 213-229 (1996)
• [Publications] M.Katsurada-K.Matsumoto: "Explicit formulas and asymptotic expansions for certain mean square of Hurwitz zeta-functions I" Math.Scand.78. 161-177 (1996)
• [Publications] I.Kiuchi-K.Matsumoto: "The resemblance of the behaviour of the remainder terms Eσ(t),△_<1-2σ>(x) and R(σtit)" Sieve Methods,Exponential sums and their Applications in Number theory. 255-273 (1996)
• [Publications] 松本 耕二: "原始的cusp形式に付随するゼータ関数の値分布について" 京大数理研講究録. 961. 36-52 (1996)
• [Publications] K.Matsumoto: "Asymptotic series for double zeta,double gamma,and Heeke L-functions" Math.Proc.Cambridge Phil.Soc. (to appear). (1997)
• [Publications] M.Katsurada-K.Matsumoto: "Explicit formulas and asymptotic expansions for certain mean square of Hurwitz zeta-functions II" Proc.2nd Intern.Conf.on Analytic and Probabilistic Number Theory,Palanga. (to appear). (1997)
• [Publications] Y.Kitaoka: "The minimum and the primitive representation of positive definite quadratic forms II" Nagoya Math.J.141. 1-27 (1996)
• [Publications] Y.Kitaoka-H.Suzuki: "Finite arithmetic subgroups of GLn,IV" Nagoya Math.J.142. 183-188 (1996)
• [Publications] H.Ito: "On a product related to the cubic Gauss sum II" Nagoya Math.J.(to appear).
• [Publications] 谷川 好男: "Sum of Kloosterman Zeta functions" 京大数理研講究録. 958. 120-128 (1996)
• [Publications] 秋山茂樹・谷川好男: "楕円L関数のcritical stripでの計算" 京大数理研講究録. 961. 11-31 (1996)
• [Publications] S.Akiyama-Y.Tanigawa: "Calculation of values of L-functions associated to elliptic curves" Math.Comput.(to appear).
• [Publications] J.Furuya-Y.Tanigawa: "Estimation of a certain function related to the Dirichlet divisor problem" Proc.2nd.Intern.Conf.on Analytic and Probabilistic Number Theory. Palanga. (to appear). (1997)