1996 Fiscal Year Annual Research Report
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08740063
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
横田 佳之 九州大学, 大学院・数理学研究科, 講師 (40240197)
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| Keywords | 三次元多様体 / 量子不変量 |
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| Research Abstract |
物理学者Wittenによって提唱された,三次元多様体の量子不変量のうち,特殊ユニタリー群に対応する不変量に関しては,三次元多様体の絡み目表示を用いた,Turaev-Wenzl,Kohno-Takata,Yokota等による,数学的定式化が知られています.この不変量は,レベルと呼ばれる正の整数とある1の巾根tによってきまり,その値はtの平方根の有理関数として表わされます.ところが計算機実験は,不変量がtの多項式環に値をとることを暗示しており,少なくともホモロジー球面とよばれる三次元多様体族に関しては,不変量はtの多項式環に値をとるであろう,と予想されてきました.二次の特殊ユニタリー群に関しては,まずMurakamiによってこの事実が示されましたが,証明は複雑な計算を必要とするため,それを一般の特殊ユニタリー群の場合にそのまま適用するのは,不可能と思われてきました.ところが最近になってMasubaum-Robertsが,Temperley-Lieb代数の表現論を用いて,Murakamiの結果の簡単な別証明をあたえました.
この研究では,Masubaum-Robertsをヒントに上の予想,つまり一般の特殊ユニタリー群に対応する不変量が,tの多項式環に値をとることの証明に成功しました.基本的な流れはMasubaum-Robertsと同様で,与えられた三次元多様体とその鏡像の連結和の不変量を,Hecke環の表現論を用いて解析し,それがtの多項式環に値をとることを示します.あとはいくつかの数論的な議論を経由して,もとの三次元多様体の不変量もtの多項式環に値をとることがわかります.
この研究の最初の目標は,三次元多様体の,特殊ユニタリー群に対応する量子不変量の性質を調べることでした.以上がその成果ですが,不変量のもつ,ある重要な代数的性質を導いたことになります.
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[Publications] Yoshiyuki Yokota: "Topological invariants of graphs in 3-space" Topology. 35. 77-87 (1996)
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[Publications] Yoshiyuki Yokota: "An example of tunnel number one knots which have the property "1+1=3"" Math.Proc.Cambridge Phil. Soc.119. 113-118 (1996)
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[Publications] Yoshiyuki Yokota: "Polynomial invariants of periodic knots" J.Knot Theory and its Ramif.5. 113-118 (1996)
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[Publications] Yoshiyuki Yokota: "Identifying tunnel number one knots" J.Math.Soc.Japan. 48. 667-688 (1996)
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[Publications] Yoshiyuki Yokota: "Skeins and quantum SU (N) invariants of 3-manifolds" Math.Ann.(to appear).
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[Publications] Yoshiyuki Yokota: "The PSU (N) invariants of 3-manifolds are polynomials" preprint.
