モジュライ空間と無限次元空間の幾何学

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09304008
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 深谷 賢治 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30165261)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 太田 啓史 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (31400070) ; 小野 薫 お茶の水女子大学, 理学部, 助教授 (20204232) ; 古田 幹雄 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (50181459) ; 中島 啓 京都大学, 大学院・理学研究所, 助教授 (00201666) ; 砂田 利一 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20022741)
• Keywords: フレア-ホモロジー / 鏡映対称性 / 非可換幾何学 / A無限大カテゴリー / ヤンミルズ方程式 / テ-タ関数 / マスロフ指数 / シンプレクティック幾何

Research Abstract

1.A無限大カテゴリーのホモロジー代数.
論文「Floer homology for 3 manifolds with boundary I」ではA無限大カテゴリーのホモロジー代数の端諸となる諸研究を行った.A無限大函手の概念やその間の自然変換,あるいはA無限大カテゴリーの間のホモトピー同値などを定式化した.これらの諸結果は,たとえば非可換空間上の層の理論を建設する上で必要となると思われる。ホモトピー代数学をA無限大カテゴリーの言葉で書くという計画が進行中である。
2.ラグランジュ部分多様体の交叉のフレア-ホモロジーの障害理論
ラグランジュ部分多様体の交叉のフレア-ホモロジーはその基礎に種々の困難があることがY.Oh氏らによって指摘され,深谷によるA無限大カテゴリーのシンプレクティック多様体上の構成の障害になっていたが,深谷・コンセビッチ・オ-.太田・小野の共同研究により,この困難が乗り越えられた.すなわち,アグランジアン交叉のフレア-ホモロジーが定義されるための障害類が、ラグランジュ部分多様体の偶数次コホモロジーの元として定式化された.これは物理の言葉ではBRST対称性へのアノーマリを計算したことに当たると思われる.この結果は,上述の構想の実現以外に,ラグランジュ部分多様体の交叉についてのア-ノルドギベンタル予想,ユークリッド空間の中のラグランジュ部分多様体のマスロフ指数の非自明性などに応用がある.論文は執筆中である.
3.運動量写像とアテイヤーフレア-型予想
曲面と円盤の積上の接続に対する,ヤンミルズ方程式,複素と実の方程式に分け,それぞれを,ハミルトン作用と運動量写像の言葉で理解した.これをもとに,前から示していた,除去可能性定理などの証明を整理し,論文「Anti Self Dual equations on 4-manifolds with degenerate metric」としてまとめた.
4.Holomorphicカテゴリーと鏡映対称性 5.多重テ-タ関数 6.非可換鏡映対称性
この3項目は年度末に得られた研究結果であるが,現在急速に進展中であるので,来年度報告する.その一部を論文(「Floer homology of Lagrangian Foliation and noncommutative Mirror symmetry I」)に述べた.

Research Products

• [Publications] K.Fukaya: "Anti Self Dual equations on 4-manifolds with degenerate metric" Geometric Analysis and Functional Analysis. 1-60 (1998)
• [Publications] K.Fukaya: "Floer homology for 3 manifolds with boundary I" preprint. 1-120 (1997)
• [Publications] K.Fukaya: "Floer homology of Lagrangian Foliation and noncommutative Mirror symmetry I" preprint. 1-50 (1998)
• [Publications] K.Fukaya, Y.Oh: "Zero loop open string in the cotangent bundle and Morse homotopy" Asian Journal of Mathematics. 1. 96-180 (1997)
• [Publications] K.Fukaya, K.Ono: "Arnold conjecture and Gromov Witten invariants" Topology. 1-150 (1998)
• [Publications] Y.Itoh, H.Nakajima: "Mckay correspondence and hilbert scheme in Dimension three" (preprint). 1-35