非線形完全積分可能系と組み合わせ論の総合的研究

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09304013
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 岡本 和夫 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40011720)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 山本 昌宏 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50182647) ; 桂 利行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444) ; 河野 俊丈 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (80144111) ; 高野 恭一 神戸大学, 理学部, 教授 (10011678) ; 松尾 厚 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (20238968)
• Keywords: 可積分系 / 非線完全積分可能系 / パンルヴェ方程式 / ガルニエ系 / 双線形形式 / アフィンワイル群 / ベックルント変換 / 対称性

Research Abstract

平成11年度の研究実施に際して,これまでの研究を引き継ぎ,研究テーマのまとめと整理を行うことを計画した。併せて,本研究課題の目標を追求するため研究グループを以下のように再編成した。すなわち,(a)非線形完全積分可能系の理論的研究(b-1)非線形完全積分可能系の応用数理的研究(b-2)非線形完全積分可能系に関連する組み合わせ論の研究(c)非線形完全積分可能系の表現論的研究,の4つである。現時点での各グループの研究成果をまとめると以下の通りである。(a)研究代表者が導いたパンルヴェ方程式に付随する初期値空間について,離散形まで含めた最終的結果が得られたこと,多変数の非線形完全積分可能系であるガルニエ系の双線形形式や対称性について新しい結果がえられたこと等。(b-1)非線形完全積分可能系の幾何学的な見方が深まったことにより,数理物理的な応用がなされたこと。(b-2)ガルニエ系の退化図式がヤング図形に対応していることは良く知られているが,実はガルニエ系にある階層構造があることが明らかになったこと。(c)パンルヴェ方程式はアフィンワイル群で記述される対称性を持つが,これを基にしてパンルヴェ階層とも呼ばれるべき新しい非線形完全積分可能系のクラスが発見されている。これについての詳細な研究がなされつつあること。
各研究分担者は各自の立場からの研究を続け,上記の結果を得た。諸機関の研究者や海外の研究者との交流を積極的に続けたことは,研究遂行上大きな役割を果たしている。得られた成果は研究代表者と各分担者によりそれぞれ現在論文としてまとめられつつあるが,いずれも本研究課題申請時の予想を越えた研究の広がりを示すものであり、今後が期待される。

Research Products

• [Publications] OKAMOTO Kazuo: "The Hamiltoniaus associated to the Painleve equations"The Painleve Property : one century later, Springer. 735-788 (1999)
• [Publications] KOHNO Toshitake: "Vassiliev invariants of braids and iterated integrals"Advanced Studies in pure Math.. (発表予定). (2000)
• [Publications] KATSURA Toshiyuki: "On the distribution of linear codes around the [7,4,3]-Hamming code"Max-Planck-Institut fiir Math. Preprint Series. 3. 1-8 (1999)
• [Publications] YAMAMOTO Masahiro: "Uniqueness and stability in multidimensional hyperbolic inverse problems"J. Math. Pures. Appl.. 78. 65-98 (1999)
• [Publications] TAKANO Kyo-ichi (共著): "On some Hamiltonian structures of Painleve systems, II"J. Math. Soc. JAPAN. 51. 843-866 (1999)
• [Publications] MATSUO Atsushi (共著): "The automorphism group of the Hamming code Vertex algebra"Jaursal of Algebra. (発表予定). (2000)