24次元メロモルフィック頂点作用素代数の完全な分類を目指して

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09440004
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 宮本 雅彦 筑波大学, 数学系, 教授 (30125356)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 小木曽 岳義 筑波大学, 数学系, 助手 (20282296) ; 北詰 正顕 千葉大学, 理学部, 助教授 (60204898) ; 森田 純 筑波大学, 数学系, 教授 (20166416) ; 内藤 聡 筑波大学, 数学系, 助教授 (60252160) ; 木村 浩 愛媛大学, 理学部, 教授 (70023570)
• Keywords: イジング模型 / ラティス / メロモルフィック / ヴィラソロ代数 / 自己同型群 / モンスター単純群 / 頂点作用素代数 / ムーンシャイン予想

Research Abstract

頂点作用素代数はモンスター有限単純群とモジュラー関数との間の神秘的な関係を説明するムーンシャイン予想の解として構成されたムーンシャイン頂点作用素代数が出発点であるが、物理における弦理論などで注目されている2次元共形場理論の厳密な数学的定義であることが分かってきた。特に、物理的な意味において24次元メロモルフィック頂点作用素代数は非常に重要な意味を持っているが、現時点で知られているものは24次元のニイマイヤ格子から構成された頂点作用素代数とそれらのオービフォルド構成による頂点作用素代数だけといって過言でない状態である。ところが、これらはすべて48個のアイジング模型のテンソル積を含んでいることがドン、メイソン達の研究によって知られていた。
研究代表者の宮本は、この基盤研究によってアイジング模型を含む頂点作用素代数の研究を続けており、平成9年度には、コード頂点作用素代数という扱いやすいものを定義し、その表現を決定した。
平成10年度では、さらにハミングコード頂点作用素代数に注目し、そのフュージョン規則なども決定し、さらに、それらの表現を使い、ムーンシャイン頂点作用素代数の新しい構成法を見つけた。特に、この方法は実数体上での構成も与えており、正定値不変内積などが自然に保たれている。そのため、この構成法は、それまでの構成法とは異なり、自己同型群がモンスター単純群であることの証明や、ラティス型の頂点作用素代数との関係が見やすくなっている。また、オービフォルド構成の仕組みもバイナリーコード上で考えることが出来るようになっている。

Research Products

• [Publications] 宮本雅彦: "Representation theory of code vertex operator algebra" Journal of Algebra. 201巻. 115-150 (1998)
• [Publications] 宮本雅彦: "The moonshine VOA and a tensor product of Ising models" “The monste and Lie algebras" OSU M.R.I.P.7巻. 99-110 (1998)