24次元メロモルフィック頂点作用素代数の完全な分類を目指して

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09440004
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 宮本 雅彦 筑波大学, 数学系, 教授 (30125356)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 森田 純 筑波大学, 数学系, 教授 (20166416) ; 内藤 聡 筑波大学, 数学系, 助教授 (60252160) ; 木村 浩 上武大学, 情報学部, 教授 (70023570) ; 小木曽 岳義 城西大学, 理学部, 講師 (20282296) ; 北詰 正顕 千葉大学, 理学部, 助教授 (60204898)
• Keywords: イジング模型 / ラティス / メロモルフィック / ヴィラソロ代数 / 自己同型群 / モンスター単純群 / 頂点作用素代数 / ムーンシャイン予想

Research Abstract

頂点作用素代数はモンスター有限単純群とモジュラー関数との間の神秘的な関係を説明するムーンシャイン予想の解として構成されたムーンシャイン頂点作用素代数が出発点であるが、物理における弦理論などで注目されている2次元共形場理論の厳密な数学的定義であることが分かってきた。特に、物理的な意味において24次元メロモルフィック頂点作用素代数は非常に重要な意味を持っているが、現時点で知られているものは24次元のニイマイヤ格子から構成された頂点作用素代数とそれらのオービフォルド構成による頂点作用素代数だけといって過言でない状態である。ところが、これらはすべて48個のアイジング模型のテンソル積を含んでいることがドン、メイソン達の研究によって知られていた。
研究代表者の宮本は、この基盤研究によってアイジング模型を含む頂点作用素代数の研究を続けており、平成9年度には、コード頂点作用素代数という扱いやすいものを定義し、その表現を決定した。平成10年度では、さらにハミングコード頂点作用素代数に注目し、そのフュージョン規則なども決定し、さらに、平成11年度には、ムーンシャイン頂点作用素代数の新しい構成法を見つけた。平成12年度はそれらの構成を格子型頂点作用素代数などに応用し、既存の24次元ホロモルフィック頂点作用素代数はすべてこの方法によって構成できることが分かった。また、この方法により、コード頂点作用素代数のツイスト加群の構成に成功している。ツイスト加群はそれまで非常に単純な場合にしか構成されていなかっただけに、進展が期待できる。特に、ムーンシャイン予想の本質であるムーンシャイン頂点作用素代数のツイスト加群がこの方法によって構成できる可能性が高いので、この方面の研究の進展が群論とのつながりを含め、もう少し研究する必要がある。

Research Products

• [Publications] 北詰,宮本雅彦,山田: "Ternary codes and vertex operator algebras"Journal of Algebra. 223. 379-395 (2000)
• [Publications] 宮本雅彦: "A modular invariance on the theta functions defined on vertex operator algebras"Duke Mathematical Journal. 101. 221-236 (2000)
• [Publications] 宮本雅彦: "Codes and the construction of vertex operator algebras"Sugaku. 52. 159-171 (2000)
• [Publications] 北詰,宮本雅彦,山田: "Borwein identity and vertex operator algebras"Journal of Number Theory. 82. 100-108 (2000)