1999 Fiscal Year Annual Research Report
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09440056
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
小薗 英雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00195728)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
立澤 一哉 東北大学, 大学院・理学研究科, 講師 (80227090)
長澤 壯之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70202223)
堤 誉志雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10180027)
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| Keywords | ナビエ・ストークス方程式 / オイラー方程式 / 双線形作用素 / ハーディ空間 / BMO関数 / ベゾフ空間 / ソボレフ不等式 / 爆発解 |
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| Research Abstract |
非圧縮性理想流体の運動を支配するEuler方程式に関しては,初期条件がSobelev空間W^<s,p>(R^n),s>n/p+1に属するとき,古典解の時間局所存在が示されている.その古典解が実際は大域的に延長可能なのか,あるいは有限時刻でその滑らかを失うのかはn【greater than or equal】 3に関しては未解決問題である.Beale-Kato-Majda(BKM),Kato-Ponce(KP)は解uの過度ω≡rot uに着目し,時刻t=Tでu(t)がW^<s,p>(R^n)に属する解として延長不能ならば,∫^T_0‖ω(t)‖_<L^∞>dt=∞であることを示した.本年度の分担者の研究においては,彼らの爆発の基準(blow-up criterion)が,実際にはL^∞より広い空間であるBMOで成立することを証明した.キーになる議論は,仮定∫^T_0‖ω(t)‖_<BMO>dt<∞なるもとで,解u(t)のL^∞(0,T;W^<s,p>(R^n))におけるアプリオリ評価を得ることである.BKM,KPらは,ソレノイダルベクトル場uにおける勾配∇uのL^∞-評価を過度ωのL^∞-ノルムとu自身の対数型W^<s,p>-ノルムで確立し,プリオリ評価を示した.ここに,s>n/p+1.本研究では,関数f自身に対して彼らの対数型不等式をBMO-空間へと一般化した:
‖f‖_<L^∞>【less than or equal】C{1+‖f‖_<BMO>log(e+‖f‖_<W^<k,p>>)}k>n/p
更に上記の不等式は,BMO-空間から斉次Besov空間B^0_<∞,∞>へと拡張可能である.
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[Publications] Kozono H.,Sohr H.: "On global strong solutions of the Naviu-Stokes equations in 4,5-D"Ann. Inst. Henri Poincari Analyse Nonlineaire. 16. 535-561 (1999)
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[Publications] Kozono H.,Yamazaki M.: "Uniqueness Criterion of weak solutions to the stationary Naviu-Stokes equations in exterion domains"Nonlinear Analysis. 38. 759-770 (1999)
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[Publications] Kozono H.,Taniuchi Y.: "Bilinear estimates in BMO and the Naviu-Stokes equations"Math. Z.. 発表予定.
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[Publications] Kozono H.: "Weak solutions of the Naviu-Stokes equations with test fin. In L^w_n"Tohoku Math. J.. 発表予定.
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[Publications] Ozawa T.,Tsutaya K.,Tsutsumi Y.: "Well-posedness in energy space for the Cauchy Problem of KGZ equations"Math. Ann.. 313. 127-140 (1993)
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[Publications] Nagasawa T.: "Constructions of weak solutions of the Naviu-Stokes equations on Riemaniam manifold by minimizing variational functionals"Adv. Math. Sci. Appl. 9. 51-71 (1999)
