量子ホワイトノイズと無限次元調和解析

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09440057
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 尾畑 伸明 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (10169360)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 洞 彰人 岡山大学, 環境理工学部, 助教授 (10212200) ; 有光 敏彦 筑波大学, 物理学系, 助教授 (50134200) ; 南 和彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (40271530) ; 青本 和彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00011495) ; ACCARDI Luig 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (80283464)
• Keywords: 量子ホワイトノイズ / ホワイトノイズ解析 / 無限次元解析 / 散逸量子系 / 統計的独立性 / ランダムウォーク / 直交多項式 / 非線型確率解析

Research Abstract

ホワイトノイズ超関数上の作用素解析の手法によって、量子ホワイトノイズが導入され、それを基礎とした確率解析が急速に展開された。ホワイトノイズは各時点における独立増分を確率素子として導入するため、従来の伊藤型確率解析では取り扱えなかったホワイトノイズの高次巾や非線形拡張が自然に定義される。量子伊藤公式は、「くり込まれた」伊藤公式に拡張され、デルタ関数による形式的導出に加えて、積分核作用素の理論による解析的導出も得られた。さらに、ホワイトノイズの高次巾を係数に含む正規順ホワイトノイズ方程式の解の存在・一意性・解析性に関して一通りの結果が得られた。これによって、量子論の確率極限において議論される確率微分方程式とホワイトノイズ方程式の関連が明らかになった。これは、散逸量子系の数理的基礎に貢献するものであり、物理における非線形問題との関連が期待される。一方、これらの議論においては、相互作用フォック空間が重要な概念として浮かび上がってきている。その興味深い役割は、離散グラフ上の調和解析や直交多項式との関連という全く異なる文脈でも発見された。統計的独立性の代数的アプローチにおいて、相関関数のガウス性という概念があるが、ある意味で、すべての確率測度がガウス性をもつことが相互作用フォック空間を用いた議論で示された。今年度は、定期セミナーに内外の研究者多数を招聘し、随時、共同研究を実施した。これに加えて、本学で「量子解析とガウス過程」と題した集会を開催し、筑波大学・京都大学においては、本研究組織の分担者を責任者とする研究集会が開催された。これによって、より一層の研究交流が生まれた。

Research Products

• [Publications] 尾畑伸明 U.C.Ji and D.M.Chung: "Transfromations on white noise functions associated with second order differential operators of diagonal type" Nagoya Math.J.149. 173-192 (1998)
• [Publications] 尾畑伸明 L.Accardi,橋本行洋: "Notions of independence related to the free group" Infinite Dimen.Anal.Quantum Prob.1. 201-220 (1998)
• [Publications] 尾畑伸明 L.Accardi,橋本行洋: "Singleton independence" Banach Center Publications. 43. 9-24 (1998)
• [Publications] 尾畑伸明 L.Accardi,橋本行洋: "A role of singletons in quantum central limit theorems" J.Korean Math.Soc.35. 675-690 (1998)
• [Publications] 尾畑伸明: "A note on Hida's whiskers and complex white noise" Analysis on INfinite Dimensional Lie Groups and Algebras (H.Heyer,J.Marion Eds.). 321-336 (1998)
• [Publications] 尾畑伸明 D.M.Chung and U.C.Ji: "Higher powers of quantum white noises in terms of integral kernel operators" Infinite Dimen.Anal.Quantum Prob.1. 533-559 (1998)
• [Publications] 青本和彦: "Derivation of q-difference equation from connection matrix for Selberg type Jackson integrals" J.Diff.Equations. 4. 247-278 (1998)
• [Publications] 青本和彦: "On elliptic product formula for Jackson integrals qssociated with reduced root systems" J.Algebraic Combinatorics. 8. 115-126 (1998)
• [Publications] 南 和彦: "The susceptibility in arbitorary directions and the specific heat of general Ising type chains" J.Phys.Soc.Japan. 67. 2255-2269 (1998)
• [Publications] 洞 彰人: "Central limit theorems and asymptotic spectral analysis of large graphs" Infinite Dimen.Anal.Quantum Prob.1. 221-246 (1998)
• [Publications] 洞 彰人: "Central limit theorem for the adjacency operators on the infinite symmetric group" Commun.Math.Phys.195. 405-416 (1998)
• [Publications] 有光敏彦: "A unified system of stochastic differential equations in terms of non-equilibrium thermo field dynamics" Proc.International conference on Stochastic Processes and Their Applications. (印刷中). (1999)