非線形楕円型方程式系の解の形状とその数値解析の総合的研究

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09440087
• Research Institution: Ryukoku University
• Principal Investigator: 四ツ谷 晶二 龍谷大学, 理工学部, 教授 (60128361)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 柳田 英二 東京大学, 数理科学研究科, 助教授 (80174548) ; 山田 義雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20111825) ; 岡 宏枝 龍谷大学, 理工学部, 教授 (20215221) ; 森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783) ; 池田 勉 龍谷大学, 理工学部, 教授 (50151296)
• Keywords: 楕円型方程式 / ポアソン方程式 / 代用電荷法 / 球対称 / 反応-拡散 / 定在パルス / クロス拡散 / ギンツブルグ・ランダウ方程式

Research Abstract

研究代表者の四ツ谷は,森下,小林,高市,天野との共同研究により,代用電荷法を用いた高精度な新しいポアソン方程式の解法を提案している.しかし,この方法には特解の数値積分に要する計算量が少なくないという欠点があった.最近,森下,天野との共同研究により,この特解の数値積分の問題に注目して,改良されたポアソン方程式の数値計算法を提案し,その有効性を数値実験的に検証した.
また,代表者は,壁谷,柳田との共同研究により球対称な解の詳細な解の形状を数学的に調べる方法を開発し発展させた.最近,柳田との共同研究により方程式を標準形に帰着する組織的な変数変換を発見した.これにより,これまで個別になされてきた研究が標準形を通して有機的に結びつき,逆にそれが各方程式に対する個別の研究を進展させている.
次に分担者の研究成果を述べる.池田は,ある双安定反応拡散方程式系の静止パルスについて2種類の不安定化が発生することを数学的に厳密に証明した.森田はノイマン条件下の2次元の単位円盤上のギンツブルグ・ランダウ方程式の渦解は,定係数の場合この対称解は不安定であるが,非一様な係数の場合には安定化しうることを示し,その十分条件を与えた.岡はConley indexの理論を,ある種の特異摂動的ベクトル場に対して構築した.山田は,反応拡散方程式系に関する解集合の構造の研究,とくに正値定常解が存在するための条件や解の多重性について研究成果を得た.柳田は,半線形楕円型方程式の球対称解の構造,ネットワーク上の反応拡散系の解の研究,反応拡散系の解の爆発現象,反応拡散系の解の定める界面方程式の研究等について多くの新しい現象を発見しそれらの数学的な証明を与えた.

Research Products

• [Publications] 森下 博, 天野 要, 四ツ谷晶二: "代用電荷法によるポアソン方程式の数値計算の改良" 情報処理学会論文誌. (掲載予定).
• [Publications] Y.Kabeya, E.Yanagida and S.Yotsutani: "Number of zeros of solutions to singular initial value problems" Tohoku Math.J.50. 1-22 (1998)
• [Publications] H.Ikeda and T.Ikeda: "Bifurcation phenomena from standing pulse solutions of bistable reaction-diffusion systems" Journal of Dynamics and Differential Equations. to appear.
• [Publications] X-Y.Chen, S.Jimbo and Y.Morita: "Stabilization of Vorticies in the Ginzburg-Landau Equation with a Variable Diffusion Coefficient" SIAM Journal of Mathematical Analysis. 29. 903-912 (1998)
• [Publications] T.Gedeon, H.Kokubu, K.Mischaikow, H.Oka and J.Reineck: "Conley index for fast-slow systems I : One-dimensional slow variable" Journal of Dynamics and Differential Equations. (to appear).
• [Publications] S.Takeuchi and Y.Yamada: "Asymptotic Properities of a reaction-diffusion equation with degenerate p-Laplacian" Nonlinear Analysis,Theory,Methods & Applications. (to appear).
• [Publications] Y.Morita, E.Yanagida and S.Yotsutani (Eds.): "Proceedings of “Conference on Nonlinear Partial Differential Equations and Related Topics"" Joint Research Center for Science and Technology of Ryukoku University, 98 (1998)
• [Publications] Y.Nishiura, I.Takagi and E.Yanagida (Eds.): "Proceedings of the International Conference on Asymptotics in Nonlinear Diffusive Systems" Tohoku Mathematical Publications,8. Tohoku University,Mathematical Institute,Sendai, 262 (1998)