代数多様体上の代数的サイクルの研究

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640009
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 斉藤 秀司 東京工業大学, 理学部数学科, 教授 (50153804)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 黒川 信重 東京工業大学, 理学部数学科, 教授 (70114866) ; 斉藤 毅 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (70201506) ; 桂 利行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444)
• Keywords: 代数的サイクル / Chow群 / ホッヂ構造 / ノーマル ファンクション / Griffiths群 / 混合ホッヂ構造 / トレリ問題

Research Abstract

代数多様体X上の余次元γの代数的サイクルの有理同値類の群、いわゆるChow群CH^γ(X)の重要性は代数幾何のみならず整数論においても深く認識されている。にもかかわらずその構造については一般には解明されていない部分が大きい。本研究の目的はこのChow群を多角的な視点より調べていくことにある。しかしChow群をなんらかのわかりやすい不変量で捉えることは非常に難しい。これはMumfordによって示された、一般にChow群は既存の代数幾何的構造によっては捉えられない、という否定的結果による。研究計画の一つの大きな目標はBloch-Beilinson-Deligneによって提出された混合モチーフの哲学よりこの問題に迫っていくことにある。この哲学に基づき本研究者は既にChow群上にフィルターを定義し、その部分商と多様体のホッヂ構造の間の関係に関する研究を行った。さらにこの結果を深め、多様体の族にたいしてのホッヂ構造のvariationと代数的サイクルの族の間の関係に関する研究を進めている。具体的な方法としては多様体の族f:X→SにたいしてGriffithsの定義したnormal function
ρ^γ_<X/S>:F^1_SCH^γ(X)→Γ(S,DJ^γ_<X/S>)を一般化することである。ここでF^1CH^γ(X)はファイバーごとにホモロジー的に自明なサイクルの類のなすCH^γ(X)の部分群で、右辺はS上の中間ヤコビアンたちのなすファイバー空間の切断でガウス・マニン接続の定める微分方程式を満たすもの、いわゆるnormal functionsたちのなす空間である。本研究者はこの写像を一般化して写像
ρ^<γ,ν>_<X/S>:F^ν_SCH^γ(X)→Γ(S,DJ^<γ,ν>_<X/S>)を定義した。ここで左辺は本研究者の定義したChow群上のフィルターの相対化で、右辺はnormal functionの自然な一般化である。先に述べたMumfordの定理は最初の写像ρ^γ_<X/S>がChow群を捉えきる力を持たないことを意味する(つまり写像は自明でない核を持つ)。本研究者は混合モチーフの哲学に基づいてある種の普遍的な多様体の族X/Sにたいしては新しく定義した写像ρ^<γ,ν>_<X/S>がChow群を完全に捉える力を持つと考えるにいたった。これに関し射影空間内の完全交叉多様体の場合に様々な新しい結果を得ている。またこの副産物としてGriffiths群(ホモロジー的にゼロに同値なサイクル全体を代数的にゼロに同値なサイクル全体で割った群)とそれに関するGriffithsの定理の一般化も得ている。以上の研究を進めるに当たっての一つのポイントはGriffithsの開発した射影空間内の超曲面にたいするヤコビ環の理論を超曲面よりいくつかの超曲面切断を除いた開多様体に対してのヤコビ環の理論に拡張することである。副産物として上のような開多様体の混合ホッヂ構造による局所トレリ問題を解決した。

Research Products

• [Publications] M.Asakura and S.Saito: "Filtration on Chow grups and yeueralizul normal function" Publ Math IHES.
• [Publications] S.Saito: "Brauel-Maum equralence for iero-cycles on varietie an pailiction" Compaubc Math.
• [Publications] S.Saito: "Gereralization of Griffiths group" Duke Math.J.
• [Publications] 斉藤秀司: "整数論(共立講座・21世紀の数学)" 共立出版, 236 (1997)