スピンモデルとモジュラー不変性

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640013
• Research Institution: Tokyo Medical and Dental University
• Principal Investigator: 野村 和正 東京医科歯科大学, 教養部, 教授 (40111645)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 清田 正夫 東京医科歯科大学, 教養部, 教授 (50214911)
• Keywords: スピンモデル / アソシエーションスキーム / モジュラー不変性 / Bose-Mesner代数

Research Abstract

Vaughan Jonesによって導入されたスピンモデルは、我々の研究によって、代数的組合せ論の中心的概念であるアソシエーションスキームやBose-Mesner代数(BM代数)と密接な関連があり、しかもそのBM代数はモジュラー不変という性質を持つこともわかっている。本年度の当該研究では、スピンモデルから作られるBM代数を詳しく調べ、その成果として次のような結果を得た。
(1) 非対称スピンモデルの構造定理(F.Jaegerとの共同研究):非対称スピンモデルは対称なスピンモデルを巡回的スピンモデルで捻った形をしていることを示し、スピンモデルの指数という概念を導入した(指数は、この巡回的スピンモデルのサイズ)。この結果により、非対称スピンモデルの分類が現実的に可能となってきた。実際、生田卓也との共同研究により、サイズの小さな非対称スピンモデルの分類を行っている。
(2) 距離正則グラフ上のスピンモデル(B.Curtinとの共同研究):スピンモデルから作られるBM代数がP-多項式的の場合に、その代数を2個のパラメータで表示する一般公式を得た。これが、もし、1個のパラメータ表示まで落とせると、距離正則グラフ上のスピンモデルの分類は完成することになると予想されるので、分類完成の一歩手前まで行き着いたといえる。
(3) サイズ5のII型行列の分類:スピンモデルを一般化したII型行列について、5次元の場合を完全に分類した。

Research Products

• [Publications] 野村和正,Francois Jaeger: "Symmetric versus Non-symmetric spin models for link invariants" Journal of Algebraic Combinatorics. (to appear).
• [Publications] 野村和正,Brian Curtin: "Some formulas for spin models on distance-regular graphs" Journal of Combinatorial Theory(B). (to appear).
• [Publications] 野村和正: "Spin models and Bose-Mesner algebras" Europian Journal of Combinatorics. (to appear).
• [Publications] 野村和正: "Type II matrices of size five" Graphs and Combinatorics. (to appear).