ガロア表現と関連する写像類群の性質

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640033
• Research Institution: Kyoto Institute of Technology
• Principal Investigator: 朝田 衛 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 助教授 (30192462)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 塚本 千秋 京都工芸繊維大学, 繊維学部, 助教授 (80155340) ; 矢ヶ崎 達彦 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 助教授 (40191077) ; 中岡 明 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (90027920) ; 米谷 文男 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (10029340) ; 三木 博雄 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (90107368)
• Keywords: ガロア表現 / 基本群 / 写像類群

Research Abstract

Xを完全体k上定義された代数曲線で種数g(【greater than or equal】0)、の完備なものからn(【greater than or equal】0)個のk-有理点をぬいたもの、lをkの標数と素な素数とする。X【cross product】k^^-の代数的基本群π^<alg>_1(或はpro-l基本群π^<pro-l>_1 (代数的基本群の最大pro-l商))にはkの絶対ガロア群が自然に作用し、ガロア群の表現が得られる。その像は「profinite写像類群」(或は「pro-l写像類群」)と呼ばれるπ^<alg>_1 (或はπ^<pro-l>_1)の外部自己同型群のある部分群に含まれる。代数的基本群及びpro-l写像類群に関して今年度得られた結果は以下のようにまとめられる。
体kの標数が0のとき、π^<alg>_1は種数gのコンパクトリーマン面からn個の点を除いたリーマン面の基本群π_1(g,n)のprofinite完備化に同型となる。この群の性質でガロア表現を研究するときに基本的なもののひとつに、2-2g-n<0のとき、その中心は自明である(M.P.Anderson)、というものがある。今年度の研究では、もう少し強い性質、即ち「π_1(g,n)の任意の指数有限正規部分群Nに対し、Nに含まれるπ_1(g,n)の指数有限特性部分群Kで、π_1(g,n)/Kの中心が自明となるものが存在する」ことを比較的簡単に示すことができた。
pro-l基本群でのガロア表現においては、pro-l写像類群の群論的な性質を調べる必要がしばしば生じる。一般に〓零な有限生成pro-l群(でいくつかの条件を満たすもの)は、標準的な方法でl進リー群と見なせ、「リー群とリー環の対応」が成り立つので、このことを用いてpro-l写像類群を調べることができる。今年度の研究では、有限生成free nilpotent pro-l群のbraid group(種数0のpro-l写像類群を近似する群と見なせるもの)がlに依らない代数群としての構造を持つことを示すことができた。

Research Products

• [Publications] F.Maitani: "Conformal welding of annuli" Osaka J.Math.35. 579-591 (1998)
• [Publications] T.Yagasaki: "The groups of quasiconformal homeomorphisms of Riemann surfaces" Proc.Amer.Math.Soc.(to appear).