正則環における有限性の研究

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640042
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Yamaguchi University
• Principal Investigator: 久田見 守 山口大学, 理学部, 助教授 (80034734)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 片山 寿男 山口大学, 理学部, 教授 (00043860) ; 吉村 浩 山口大学, 理学部, 講師 (00182824) ; 菊政 勲 山口大学, 理学部, 助教授 (70234200) ; 大城 紀代市 山口大学, 理学部, 教授 (90034727)
• Keywords: 正則環 / 単純環 / 射影加群 / ダイレクト・ファイナイト性 / ユニット正則環 / 比較可能公理

Research Abstract

この科学研究の研究目的は、有限性をみたす正則環として代表的な弱比較可能ダイレクト・ファイナイト単純正則環及び、s-比較可能な正則環について、(a)その環上の射影加群のダイレクト・ファイナイト性の判定(b)ダイレクト・ファイナント射影加群の有限個の直和はダイレクト・ファイナイトとなるか((DF)性)というダイレクト・ファイナイト性の直和への移行問題(c)射影加群の部分加群全体の集まりSubp(R)に対して(DF)性及び、(DF)性より弱い性質(SDF)性は、成立するか((b)の一般化)という諸問題の解決を目指すことにある。今年度は、単純ユニット正則環に焦点を絞り、上記の問題に対して以下の結果1〜3を得ることが出来た。
1.単純ユニット正則環R上の加群M(SubP(R)の元)がダイレクト・ファイナイトである為の必要十分条件は、MがRの可算個の直和を含む事であることを証明した。これにより、単純ユニット正則環に対して、問題(a)が解決された。2.比較可能公理をみたす単純ユニット正則環上の加群M(SubP(R)の元)に対しては、新しく次元関数を定義し、この次元関数を用いて、Mがダイレクト・ファイナイトの判定は次元関数の値が有限であるという判定を得た。3.上記1の結果を用いて次の(1)(2)が成立することを証明した。これは問題(b)(c)の部分的解決である。(1)s-比較可能な単純ユニット正則環は、SobP(R)に対して性質(DF)をもつ。(2)弱比較可能公理をみたす単純ユニット正則環は、SubP(R)に対して性質(SDF)をもつ。上記1〜3の結果は、射影加群の部分加群全体SubP(R)についての考察であるが、双対的な概念である入射加群の直和で表される加群の部分加群の集まりについても結果を得た。これらの結果については、日本数学会で発表する予定である。本年度は、s-比較可能公理をみたす正則環について、引き続き上記問題の解決を目指す。

Research Products

• [Publications] Mamoru Kutami: "On some properties of simple unit-regular rings" communications in Algebra. (1998)
• [Publications] Kiyoichi Oshiro: "On QF-rings with cyclic Nakayama permutations" Osaka Journal of Mathematics. 34. 1-19 (1997)