代数曲面上の安定層のモジュライによる4次元共形場理論の定式化

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640053
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: 中島 徹 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20244410)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 今野 宏 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (20254138) ; 竹田 雄一郎 東京都立大学, 理学研究科, 助手 (30264584) ; 卜部 東介 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (70145655) ; 岡 睦雄 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (40011697)
• Keywords: 共形場理論 / モジュライ空間 / ベクトル束

Research Abstract

当研究の課題は2次元共形場理論を4次元へ拡張する理論を構築する事であった。その為の最良のモデルの一つと考えられる4次元Wess-Zumino-Witten理論と呼ばれる物理理論では4次元共形ブロックの空間は半自己双対接続のモジュライ空間の上の波動関数の空間として定義されたが、モジュライ空間の非コンパクト性の為その有限次元性は保証されてはいなかった。整合的な理論の構成の為の第一段階として、本年度に於ては以下の様に4次元共形ブロックの空間の代数幾何的方法による厳密な定式化を与え、その有限次元性を示す事が出来た。複素数体上定義された代数曲面上の安定ベクトル束のモジュライ空間は半安定捻れ自由層を付加する事によりコンパクト化する事が出来る。このコンパクト化の上に行列式直線束と呼ばれる特殊な直線束を幾何学的不変式論の手法により構成するとき、その第一チャーン形式はモジュライ空間上のシンプレクティック形式で表現される事が分かる。この事から行列式直線束の大域切断の空間の有限次元性が導かれ、更にこれが物理的共形ブロックの空間と自然な方法で同一視される事が明らかになった。又、Hirzebruch曲面上の階数2の安定束の場合にはこの空間の次元を具体的に計算し、それが第二チャーン類の多項式関数となる事を証明した。一般の代数曲面の場合には2次元共形場理論に於けるVerlinde公式の類似、即ち共形ブロックの空間の次元を計算する明示的公式の存在の問題は残念ながら未だ未解決である。この問題の解決には安定束のモジュライ空間のコホモロジー環の構造を考察する必要があるが、これは来年度以降の課題である。

Research Products

• [Publications] Tohru Nakashima: "Space of conformal blocks in 4D WZW theory" Journal of Geometry and Physics. 22. 255-258 (1997)
• [Publications] Tohru Nakashima: "Stable vector bundles of degree one on algebraic surtuces" Forum Mathematicum. 9. 257-265 (1997)
• [Publications] Tohru Nakashima: "Restriction of stable bundles in characteristic P" Transactions of American Mathema atical Society. 349. 4775-4786 (1997)