モジュラー予想

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640064
• Research Institution: Chuo University
• Principal Investigator: 百瀬 文之 中央大学, 理工学部, 教授 (80182187)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 長谷川 雄之 早稲田大学, 理工学部, 助手 (30287982) ; 橋本 喜一郎 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90143370) ; 関口 力 中央大学, 理工学部, 教授 (70055234)
• Keywords: モジュラー予想 / モジュラリティ / モジュライ / アーベル多様体 / GL_2型

Research Abstract

有理数体上定義されたGL_2型のアーベル多様体が,モジュラー曲線のヤコビ多様体の因子と同種であろう,というRibet-Serreによるモジュラー予想を研究している。前に,Wiles,Taylor,Diamondによるガロア中表現の変形理論と,twisting operatorの理論を用いて,extra twistingを持つアーベル多様体について,或る条件の下にこの予想の成立を見た。この場合には,与えられた素イデアルに関して,対象のアーベル多様体が,潜在的に高さ2の還元を持つ場合には,良い還元を持つ時しか扱えなかった。今年度は,Diamond-Fontaineによるp-進Hodge理論を用いた結果を利用することにより,上記の場合について,通常考えられる範囲で,前の結果を一般化されることを示した。
また,GL_2型の有理数体上のアーベル多様体の族(/同種)のmoduliをGL_2型の志村多様体の自然な自己同型群による商多様体を用いて記述出来た。この結果と,Ribet-Pyleによるdescentの理論の応用により,modularityの条件は,考えるアーベル多様体に対応するこの商多様体の有理点の或る素数による還元の言葉で記述される。それは,この還元に対応するアーベル多様体の或る素数イデアル分点の成る部分郡スキームの接空間の次元が最小(一般的)であることと,このアーベル多様体の自己同型群の位数とこの点が或る自然な自己同型の固定点であるかどうかに関する条件である。さらに,このmoduliの記述により,どの位の対象についてmodulityが言えるかが,幾何学的に記述される。