SchneiderのP進L関数とBirchとSwinnerton-Dyerの予想

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640070
• Research Institution: Japan Women's University
• Principal Investigator: 栗原 章 日本女子大学, 理学部, 教授 (50130737)
• Keywords: 保型形式 / 楕円曲線 / L関数 / P進体 / Mumford曲線 / BirchとSwinnerton-Dyerの予想 / Common Lisp

Research Abstract

P.Schneiderが提示したp進L関数がある。それは算術的不連続群Γ⊂PGL_2(Q_p)のweight2の保型形式ψに対応して考えられるものである。特にψがHecke eigenで、そのeigen valueがrationalのときは志村・谷山予想によって対応するQ上定義された楕円曲線Eが考えられるが、本研究では、そのp進L関数L(s,ψ)とこの楕円曲線EについてBirchとSwinnerton-Dyerの予想を定式化し、更にコンピュータを用いてnumericalに検証することを目的としている。
現在のところまだ期待される最終的結果には到達していない。基本的な困難はL(s,ψ)を定義する際に用いられる付加的なデータ(pathとcharacter)の最も良い選択方法がまだ不明であることである。
最も簡単なケースはEのQ-rankが0のときである。このときは、d/dsL(s,ψ)|_<s-1>とlogq(qはE(7)Tate period)との関係式が我々の目標となるが、この関係式はほぼDrinfeldによるFに関するp進周期の公式となるべきものである。このケースでは、まだ上記"付加的なデータ"は必ずしも厳しくは効いてこないので、numericalにいくつかの場合で検証することができた。
EのQ-rankが正のときは、Eのp進heightも問題となる。その様なケースでも、上記と同様の意味でnumericalに実験をしたが、予想として定式化するまでには到っていない。