1998 Fiscal Year Annual Research Report
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09640099
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| Research Institution | Toyama University |
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Principal Investigator |
岡安 隆 富山大学, 教育学部, 助教授 (00191958)
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| Keywords | 高次平均曲率 / half space theorem / 最大値原理 |
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| Research Abstract |
M^n⊂R^<n+1>を超曲面とする。k次の平均曲率H_kを
【numerical formula】
で定義する(ここでλ_1,..,λ_nはMの主曲率である)。kを奇数とする。M上の各点で∂/(∂λi)Hk>0 for∀iが成り立つとき、Mをelliptic typeと呼ぶことにする。ここで注意することは、kが奇数なのでelliptic typeかどうかは、単位法線ベクトルの取り方によらないということである。
定理1 kを奇数、nを整数とし、1【less than or equal】k<n【less than or equal】2kをみたすとする。もしM^n⊂R^<n+1>がproperly immersed eliptictype complete hypersurfaceでH_k=0をみたすならば、Mはユークリッド空間のどの半空間にも含まれることはない。
定理2 kを奇数、nを整数とし、1【less than or equal】k<n【less than or equal】2kをみたすとする。今M^n⊂R^<n+1>がproperly immersed eliptic type complete hypersurfaceでH_k=0をみたすとする。このとき、Mの各endはproperな座標関数を持たない。
この定理は、Hoffman-Meeks[Inv.Math 101,373-377(1990)]のR^3の極小曲面に関するHalf spase theoremを高次の平均曲率に拡張したものである。彼らの証明のポイントは、極小曲面であるCatenoidが上下に無限に伸びている、ということである。そこで我々も同じアイデアを用いる。要点は次のよう。まず0(n)不変回転超曲面で、H_k=0なものを構成する。k,nの条件から、この超曲面はどの半空間にも含まれない。また0(n)不変という条件から、elliptic typeになる。Mが半空間に含まれると仮定したとき、この回転超曲面の半分を下から近づけて接触させ、最大値原理を使って矛盾をだす(最大値原理を使うときに、elliptic typeであることを利用する)。
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