曲線と曲面の微分幾何に対する現代的立場からのアプローチおよびその応用

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640106
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 梅原 雅顕 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90193945)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 藤原 彰夫 大阪大学, 大学院・理学研究科, 講師 (30251359) ; 難波 誠 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60004462) ; 小磯 憲史 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70116028)
• Keywords: 双曲型空間 / 平均曲率一定 / 錐的特異点 / 曲面 / 曲線 / 頂点

Research Abstract

まず、3次元双曲型空間の平均曲率1の曲面(以下CMC-1曲面と呼ぶ)の研究以下のような成果が得られた。
1.3次元Euclid空間の極小曲面のフラックス公式の類似を3次元双曲型空間のCMC-1曲面について与えた。
2.このフラックス公式は、ブライアントの表現公式とCMC-1曲面の双対性を用いて表示される。さらに、エンドがembeddedの場合にフラックスベクトルが消えるための必要充分条件を曲面のHopf微分のローラン展開の初項の条件を用いて与えた。
3.さらにその応用として、一つのエンドの位数のみ非整数値をとるようなCMC-1曲面のある種の非存在定理を導いた。
4.上述のCMC-1曲面の理論の応用として、さらに球面上の3点に円錐的特異点を許容する定曲率1の計量の分類を行なうことに成功した。
また、曲線については、以下のような成果を得た。
・平面単純閉曲線の古典的4頂点定理について、オイラー数が4、頂点の数を0次ベッチ数とするホモロジー論と解釈できることが知られているが、この種の考え方を押し進めて、ambient spaceを払拭し、簡単な3つの条件を満たすS^1上の多価関数の理論として、4頂点定理を再構築し、空間曲線およびS^<>の微分同相写像の4頂点定理の類似を含めた4頂点定理の統一的証明と新しい定理の精密化を得た。
以上の研究に際して、分担者と密接な連携をとりながら推進した。また、必要に応じて図書やパソコン等を購入し、知識の修得につとめ曲線曲面のグラッフィクスを研究の補助手段として有効に用いた。

Research Products

• [Publications] Masaki Umehara: "A computation of the basic invariant J^+ for closed 2-vertex cuve" Journal of Knot Theory and Ramifications. 6. 105-117 (1997)
• [Publications] M.Umehara and K.Yamada: "A duality on CMC-1 surfaces in hyperbolic space,and a hypebolic anolog of the Ossermonn inequality" Tsukuba J.Math.21. 229-237 (1997)
• [Publications] S.Kato, M.Umehara and K.Yamada: "An inverse problem of the flux formula for minimal surfaces" Indiana Univ.Math.J.46. 529-559 (1997)
• [Publications] W.Rossman, M.Umehara and K.Yamada: "Irredrclble constant mear curoatue 1 surfaces in hyperbolic space with positive gerus" Tohoku Math.J.49. 449-484 (1997)