球面上における不動点集合のコントロール理論の研究

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640110
• Research Institution: Okayama University
• Principal Investigator: 森本 雅治 岡山大学, 環境理工学部, 助教授 (30166441)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 佐々木 徹 岡山大学, 環境理工学部, 講師 (20260664) ; 田中 克己 岡山大学, 理学部, 助教授 (60207082) ; 池畑 秀一 岡山大学, 環境理工学部, 教授 (20116429) ; 中島 惇 岡山大学, 環境理工学部, 教授 (30032824) ; 野田 隆三郎 岡山大学, 環境理工学部, 教授 (70029726) ; 島川 和久 岡山大学, 理学部, 助教授 (70109081)
• Keywords: 不動点 / G-作用 / 球面

Research Abstract

1998年度における「球面上における不動点集合のコントロール理論の研究」では以下のような成果が得られた.
ここではGは0liver群とし,B^*_GOは(Oliverの定めた)(G,P(G))-ベクトル束族の分類空間とする.今AをコンパクトG-多様体,ηをその上のG-ベクトル束とし,(A,ξ.)を拡張してコンパクトで可縮なG-多様体Xとその接束T(X)の組み(X,T(X))を作ることを考えてみよう.ただし,このXの構成ではイソトロピー群に関する制御を行うこととする.例えばX^G=A^GやA^H(H∈L(G))が閉多様体ならばX^Hもそのようなものであるという条件のもとで,Xを見つけることにしよう.(それがうまくいけば,Xから球面上の作用の構成へと進むことになる.)そこで,(B_GO,B^*_GO)-system A=(A,B,f_A,g_B,ψ_A,h_A)を定義し,この拡張を行える十分条件を得ることができた.ここで,ψ:A→B(これはA=Bの恒等写像を想像すると良い),f_A:A→B_GO(これはξの分類写像と考えると良い),g_B:B→B^*_GOで,h_AはL_Gf_Aからg_BOψ_XへのG-ホモトピーである.結論を端的に言えば,g_Bが1点を経由する写像なら,拡張(X,T(X))が得られるというものである.証明には,Oliverの理論と,自ら考案したBurnside環の元を用いたwedge sum構成を用いた.
この十分条件を用いて,球面上の滑らかなG-作用の不動点集合がどのようなものであるか,Gが巾零Oliver群の場合や,完全群の場合に決定することができた.

Research Products

• [Publications] M.Morimoto-K.Pawatowski: "Equivariant wedge sum construction of finite contractible G-CW complexes with G-vector bundles" Osaka Journal of Mathematics. (印刷中).
• [Publications] M.Morimoto: "Deleting-inserting theorems of fixed point mauifolds on spheres and discs" K-Theory. 15. 13-32 (1998)
• [Publications] E.Laitineu-M.Morimoto: "Finite groups with smooth one fixed point actious on spheres" Forum Mathematicum. 10. 479-520 (1998)
• [Publications] M.Morimoto: "A geometric quadratic form of 3-dimensional normal maps" Topology and its Applications. 83. 77-102 (1998)