(擬)ユークリッド空間の部分多様体上のスペクトル幾何(調和な平均曲率をもつ曲面族や有限型曲面族の分類問題)

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640119
• Research Institution: SAGA UNIVERSITY
• Principal Investigator: 石川 晋 佐賀大学, 理工学部, 教授 (10039258)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 山田 光太郎 熊本大学, 理学部, 助教授 (10221657) ; 河合 茂生 佐賀大学, 文化教育学部, 教授 (30186043) ; 塩浜 勝博 佐賀大学, 理工学部, 教授 (20016059) ; 町頭 義朗 大阪教育大学, 理学部, 講師 (00253584) ; 成 慶明 城西大学, 理学部, 助教授 (50274577)
• Keywords: 部分多様体 / 極小曲面 / 共形幾何 / 平均曲率一定曲面 / 調和写像 / 擬ユークリッド幾何

Research Abstract

(1.)単位球面内S^<n+1>(1)のRicci曲率Ric(M)≧n/2のn次元極小閉曲面Mの分類問題を研究した(項目11.研究発表欄に掲載の第1論文).詳説すると,Mの第2基本形式の2乗ノルムSがn≦S≦n+(14(n+4))/(9n+30)を満たせば,MはS^<n+1>(1)内のCliffford torusに等長的である.これはS.S.Chern,do Carmo and S.Kobayashiの有名な仕事「単位球面内S^<n+1>(1)のn=Sを満たすn次元極小閉曲面MはCliffford torusに限る」に関連した結果である.(2.)共形平坦な3次元Riemannian多様体Nの分類問題を論じた(項目11.研究発表欄に掲載の第2論文).詳説すると,Ricci曲率の2乗ノルムが一定の共形平坦な3次元Riemannian多様体Nは
(1)Scalar曲率が一定非負ならば空間形であるかM^2(c)×S^1或いはM^2(c)×Rである.
(2)Scalar曲率rが一定で負ならば空間形であるか(r^2)/3≦Ricci曲率の2乗ノルム≦(r^2)/2を満たす.
この結果をみて我々は「Scalar曲率が負で一定,かつRicci曲率の2乗ノルムが一定の共形平坦な3次元Riemannian多様体Nは空間形であるかM^2(c)×S^1或いはM^2(c)×Rに限る」と予想している.項目11の研究発表欄に掲載の第3論文はこの予想問題について論じたもの.肯定的な部分的改良結果を得た.(3.)次の未解決問題の研究を引き続き進める:
(1)3次元ユークリッド空間内の有限型曲面の決定問題(3次元ユークリッド空間内には極小曲面,球面,直円柱面の3例以外に有限型の曲面は存在しないという予想問題).
(2)ユークリッド空間内の二重調和部分多様体の決定問題(次元が4以上のユークリッド空間内では調和なもの以外に二重調和部分様体は存在しない).
(3)4次元ミンコフスキー空間内の二重調和部分多様体の完全分類.

Research Products

• [Publications] Qing-Ming Cheng: "A Characterization of the Clifford torus"Proc.Amer.Math.Soc.. 127. 819-828 (1999)
• [Publications] Qing-Ming Cheng: "Conformally flat 3-manifolds with constant・・・"Jour.Math.Soc.Japan. 51. 209-226 (1999)
• [Publications] Qing-Ming Cheng: "Conformally flat 3-manifolds with・・・II"To appear in Japanese J.Math.. 26. (2000)
• [Publications] Qing-Ming Cheng: "Complete maximal spacelike surfaces・・・"To appear in Glasgow Math.J.. 42. 139-156 (2000)
• [Publications] Katsuhiro Shiohama: "Rigidity and sphere theorems for submanifold"To appear in Kyushu Jour.Math..
• [Publications] Shigeo Kawai: "p-harmonic maps and convex functions"Geometriae Dedicata. 74. 261-265 (1999)
• [Publications] Shigeo Kawai: "On the existence of n-harmonic・・・"Compositio Mathematica. 117. 33-43 (1999)
• [Publications] Masaaki Umehara: "Metrics of constant curvature 1・・・"To appear in Illinois J.of Math..
• [Publications] Shin Kato: "General existence of minimal surfaces・・・"To appear in Comm.in Analysis and Gemetry.
• [Publications] Wayne Rossman: "A new flux for mean curvature 1・・・"Proceedings of A.M.S. 127. 2147-2154 (1999)
• [Publications] Kazuyoshi Kuwae: "Sobolev spaces,Laplacian,and Heat・・・"To appear in Math.Z..
• [Publications] Kazuyoshi Kuwae: "Beginning of analysis on Alexandrov spaces"To appear in Prceed.Conf.on Geom and Top..