微分幾何学における位相的方法と共形理論

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640121
• Research Institution: Department of mathematics, Kumamoto University
• Principal Investigator: 神島 芳宣 熊本大学, 理学部, 助教授 (10125304)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 山元 淳 熊本大学, 理学部, 助教授 (50040100) ; 岡 幸正 熊本大学, 理学部, 助教授 (50089140)
• Keywords: 4元数幾何構造 / 剛耐性 / spherical pseudo-quaternion / Carnot-Caratheodory / 共形構造 / Cauchy-Riemann構造 / Uniformization / 積分可能性

Research Abstract

4n+3次元多様体上のPseudo-quaternionic構造とその平坦性に対して次のような成果を得た.最初に小畠,Lelong-Ferrandの剛体定理のpseudo-quaternionic多様体に対する一般化を試みた.(4n+3)次元多様体が幾何学(PSp(n+1,1),S^<4n+3>)に局所的にモデルされている多様体をspherical pseudo-quaternionic多様体といった.トポロジー的な結果として次のことを証明した.
定理Mを4n+3次元コンパクトSpherical pseudo-quaterionic多様体とする.もしspherical pseudo-quaternionic:変換群がノンコンパクトなら,Mは標準球面s^<4n+3>にpseudo-quaternionicallyに同型である.
しかしまだ,その消滅が平坦性を与えるpseudo-quaternionic構造の不変量の構成はできていないため,次の予想が依然として残る.
予想: Mを4n+3次元コンパクトpseudo-quaternionic多様体とする.もしpseudo-quaternionic変換群の連結成分Aut(M)^0がノンコンパクトならMは標準球面S^<4n+3>にpseudo-quaternionicallyに同型である.
次にSpherical Cauchy-Riemann幾何またConformally flat幾何と同様Spherical pseudo-quaternionic幾何の基本的な結果を確立した.
定理1 (S^<4n+3>,Null θ)をSasakian構造から生成されるCarnot-Caratheodory構造とする.
Aut_<QCC>(S^<4n+3>)を(S^<4n+3>,Null θ)上の全てのquaternionic Carnot-Caratheodory変換の作る群とするとき,次の二つの幾何学は一致する.
(Aut_<QCC>(S^<4n+3>),S^<4n+3>,NUll θ)=(PSp(n+1,1),S^<4n+3>).
この結果を使い,コンパクトSpherical pseudo-quaterrnionic多様体がamenableホロノミー群を持つときの分類,また基本群が4元数双曲多様体の基本群に同型の場合のコンパクトSpherical pseudo-quaternionic多様体の剛体性を証明した.
定理2 コンパクトSpherical pseudo-quaternionic多様体のホロノミー群がamenableなら,Mの適当な有限被覆は球面S^<4n+3>,Hopf多様体S^1×S^<4n+2>あるいはnilmanifold M/Γになる.
Theorem3 MをコンパクトSpherical pseudo-quaternionic多様体とし,その基本群π_1(M)は4元数双曲群PSp(n,1)のuniform離散部分群Γに同型とする.このとき,Mは等質空間のコンパクト商空間(double cosetspace)Sp(n)×Sp(1)＼Sp(n,1)・Sp(1)/Γにpseudo-quaternionicallyに同型になる.

Research Products

• [Publications] 神島芳信: "Locally conformally Kahlerian structures and uniformization" Proceedings of the Brazil-USA Workshop,Griyter. 1. 174-190 (1997)
• [Publications] 神島 芳信: "Locally conformal Kahler manifolds with a family of constant curvature tensors" Kumamoto Journal. 11. 19-41 (1998)
• [Publications] 神島 芳信: "Geometric rigidity of spherical hypersurfaces in quaternionic manifolds" Asian Journal. (近刊). (1999)
• [Publications] 神島 芳信: "Rigidity and Nornrigidity of the Geometric structure on the boundary of Quaternionic (Complex) Hyperbolic space" 数理解析研究所講究録. (近刊). (1999)
• [Publications] 神島 芳信: "Geometric superrigidity of (4n+3)-manifolds with quaternionic hyperbolic fundamental groups" 数理解析研究所講究録. 1022. 143-152 (1998)