正則ベクトル場に対するPoincare-Bendixson型定理とその応用

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640137
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Ryukoku University
• Principal Investigator: 伊藤 敏和 龍谷大学, 経済学部, 教授 (60110178)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 助教授 (10192783) ; 岡 宏枝 龍谷大学, 理工学部, 助教授 (20215221) ; 四ッ谷 晶二 龍谷大学, 理工学部, 教授 (60128361) ; 松本 和一郎 龍谷大学, 理工学部, 教授 (40093314)
• Keywords: 正則ベクトル場 / 極集合 / 偏微分方程式系 / 南雲型Cauchy-Kowalevskiの定理 / 準線形楕円型方程式 / ポアソン方程式の数値計算 / ギンツブルグ・ランダウ方程式 / 安定解

Research Abstract

伊藤敏和は孤立特異点の位数が2以上の正則ベクトル場と球面との接点集合を具体例で考察中に接点の存在と正則ベクトル場の非完備性とが関係することに気付いたが,具体的な結果を得ていない。
松本和一郎は偏微分方程式系の初期値問題で係数の時間に関する滑らかさをC^p,系の時間変数の微分階数を1,空間変数の微分階数をm,系のサイズをNとすると,系が正則解をもつ為には2p+1≧m(N-1)が成り立たなければならない例を与えた。一方,m=N=2かつP≧1の時には,松本・山原の定理が拡張できることも示した。
四ッ谷晶二はm-ラプラシアンを主要部にもつ球対称解の零点の個数が有限,無限であるための必要条件,およびsharpな十分条件を与えた。又,ポアソン方程式の代用電荷法を用いた数値計算の解法を提案した。これにより計算スキームが著しく単純になると同時に計算精度も著しく向上した。
森田善久はノイマン境界条件下の通常のギンツブルグ・ランダウ方程式は,2次元の有界な凸領域では零点をもつ安定な解をもたない。しかし,非一様性を変数係数として方程式に導入すると零点をもつ安定な解が構成できることを証明した。

Research Products

• [Publications] Waichiro Matsumoto: "The strong hyperbolicity of first order systems with coefficients depending only on time variable" International Conference on Differential Equations. (to appear).
• [Publications] Y.Kabeya, E.Yanagida and S.Yotsutani: "Number of zeros of solutions to singular initial value problems" Tohoku J.Math.(to appear).
• [Publications] 森下, 小林, 高市, 天野, 四ッ谷: "代用電荷法によるポアソン方程式の数値計算" 情報処理学会論文誌. 38. 1483-1491 (1997)
• [Publications] X-Y.Chen, S.Jimbo and Y.Morita: "Stabilization of vorticies in the Ginzburg-Landau equation with a variable diffusion coefficient" SIAM J.of Mathematical Analysis. (to appear).
• [Publications] Y.Morita: "Stability of solutions to the Ginzburg-Landau equation with Neumann condition" Nonlinear Analysis:Theory,Methods and Applications. 30-6. 3939-3946 (1997)