正則ベクトル場に対するPoincare-Bendixson型定理とその応用

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640137
• Research Institution: Ryukoku University
• Principal Investigator: 伊藤 敏和 龍谷大学, 経済学部, 教授 (60110178)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783) ; 岡 宏枝 龍谷大学, 理工学部, 教授 (20215221) ; 四ツ谷 晶二 龍谷大学, 理工学部, 教授 (60128361) ; 松本 和一郎 龍谷大学, 理工学部, 教授 (40093314)
• Keywords: 正則ベクトル場 / Poincare-Bendixson型定理 / 非線型楕円型方程式 / ポアソン方程式 / ギンツブル・ランダウ方程式 / ホモクリニック分岐 / Conley index / slow-fast system

Research Abstract

伊藤敏和は2n次元閉円板D^^~^<2n>(1)={z∈〓^n|||z||≦1}と正則微分同相でない領域D^^~^<2n>(1)={z∈〓^n|Σ^^n__<t=1>|z_〓|^p≦1},ただし,p≧3は整数,に1つの条件を付けてPoincare-Bendixson型定理が成立することを示した。これにより,D^^~^<2n>(1)と微分同相な領域でも成立することが予想される。極集合の連結性に関するいくつかの例を構成した。
四ツ谷晶ニは非線型楕円型方程式系の形状の解析の為に必須な数値計算の基礎となるポアソン方程式の高速かつ並列計算に適した数値計算法の全く新しい方法を発見し,さらなる改良を集めている。非線型楕円型方程式を標準形に変換する変数変換を発見し,いろいろ未解決問題を解くことができた。
森田善久は2次元の単位円盤上のギンツブルグ・ランダウ方程式の回転対称な零点をもつ解(渦解)の安定性について研究し,ノイマン条件下では定係数の場合この対称解は不安定であるが,非一様な係数の場合には安定化しうることを示し,その十分条件を与えた。ある興奮系のモデルは閾値以上の一定の刺激を与えると振動系に変化するが,このような系を2つ結合した場合の系について,非対称なホモクリニック分岐が起ることを示し,その分岐構造を数値計算で明らかにした。
岡宏枝はConley indexの理論をslow-fast systemsに対して構築することを目指し,slow manifoldがnormally hyperbolicで1次元である場合に,周期軌道やconnecting orbitの存在を示す位相的・代数的な条件を見い出した。またshadow systemと呼ばれる反応拡散方程式系の特異極限系における大域アトラクターの構造(特に,単調解全体のなす正不変部分集合の構造)をConley indexの理論を用いて記述することに成功した。

Research Products

• [Publications] K.Kabeya, E.Yanagida and S.Yotsutani: "Number of zeros of solutions to singular initial value problems" Tohoku Math.J.50. 1-22 (1998)
• [Publications] 森下・天野・四ツ谷: "代用電荷法によるポアソン方程式の数値計算の改良" 情報処理学会論文誌. (to appear).
• [Publications] X-Y.Chen, S.Jimbo and Y.Morita: "Stabilization of vorticies in the Ginzburg Landau equation with a variable difusion coefficients" SIAM J.Math.Analysis. 29. 903-912 (1998)
• [Publications] Y.Morita, M.Pernarowski and J.Dockery: "Homoclinic bifurcations in a diffusively coupled excitable system" Fields Institute Commucations. 21. 397-407 (1999)
• [Publications] S.Jimbo and Y.Morita: "Stable vortex solutions to the Ginzburg Landau equation with a variable coefficient in a disk" J.of differential Equations. (to appear).
• [Publications] H.Kokubu, K.Mischaikow, Y.Nishiura, H.Oka and T.Takaishi: "Connecting orbit structure of monotone solutions in the shadow system" J.of differential Equations. 140. 309-364 (1997)
• [Publications] T.Gedeon, H.Kokubu, K.Mishaikow, H.Oka and J.Peineck: "Conley index for fast-slow systems I : One-dimensional slow variable" J.of Dynamics and differential Equations. (to appear).
• [Publications] H.Kokubu, K.Mischaikow and H.Oka: "Directional transition matrix" Proceedings of the Conley Index Workshop. (to appear).