1999 Fiscal Year Annual Research Report
変分法と離散的勾配流を用いた非線形偏微分方程式の研究
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09640177
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| Research Institution | Science University of Tokyo |
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Principal Investigator |
立川 篤 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (50188257)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田宮 高紀 東京理科大学, 理工学部, 講師 (60183472)
田中 隆一 東京理科大学, 理工学部, 講師 (10112898)
小林 隆夫 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (90178319)
長澤 壯之 東北大学, 理学研究科, 助教授 (70202223)
小谷 孝一 東京理科大学, 理工学部, 助手 (80183341)
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| Keywords | 変分法 / 差分法 / 調和写像 |
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| Research Abstract |
変分法と時間離散化スキームとを組合せた方法による非線型偏微分方程式の研究が、当研究の目的である。具体的に述べると、例えば(∂u)/(∂t)-(F(u)のEuler-Lagrange方程式)=0(但し、F(u)はある変分問題に現われる汎関数)という方程式の解をGn(u)=∫(|u-u_n-1|)/(2h)dx+F(u)という汎関数の最小化写像の列から構成し、その解の性質を解析することを目的としていた。また、このような写像の列の極限として得られる、時間パラメータを含んだ写像は数年前にDe Giorgiにより導入され、近年イタリアの数学者を中心に盛んに研究されているminimizing movementと関連が極めて深く、仮に微分方程式の解にならなくても、それ自身興味深い研究対象である。
平成10年度より、立川は上記の方法を用いて、非コンパクト多様体から一般次元球面への調和写像の熱流方程式(Eells-Sampson方程式)の(∂u)/(∂t)-Δu-u|Du|^2=0弱解の構成を試み、今年度(平成11年度)これに成功した。さらに、このように構成した弱解がminimizing movementとなることも示した。
また、長澤は昨年度に引き続き、上記の方法を用いてナヴィア・ストークス方程式の弱解のエネルギー不等式を精密化し、これを用いて弱解の部分正則性について研究を深めている。
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[Publications] Atsushi TACHIKAWA: "Weak Solution to Evolution Problems of Harmonic maps from Noncompact Manifolds"Rendiconti di Matematica. (掲載予定).
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[Publications] Takao KOBAYASHI: "Global hypoellipticity of subelliptic operators on closed manifolds"Hokkaido Mathematical Journal. 28. 613-633 (1999)
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[Publications] Takeyuki NAGASAWA: "Construction of Weak Solutions of Navier-Stokes equations on Riemannian manifold by minimizing Variational Functionals"Adv.in Math.Sci.Appl.. 9. 51-71 (1999)
