非線形偏微分方程式の解のL^P理論の研究

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640179
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 小川 卓克 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (20224107)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 川下 美潮 茨城大学, 教育学部, 助教授 (80214633) ; 加藤 圭一 東京理科大学, 理学部一部, 講師 (50224499) ; 小園 英雄 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (00195728) ; 中村 周 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50183520) ; 三宅 正武 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (70019496)
• Keywords: 非線形偏微分方程式 / シュレディンガー方程式 / 分散系方程式 / ナビエストークス方程式 / 圧縮性粘性流体 / テプリッツ作用素 / スペクトル理論 / 解析性

Research Abstract

線形及び非線形の偏微分方程式の可解性におけるL^P理論の応用に関して各分担者は以下のような研究を行った。
代表者の小川は水面波の干渉方程式として典型的な3種類の一次元連立分散-波動方程式の可解性をL^P空間をbaseにした弱い初期値に対して最良と考えらる結果を得た。また外力に対する遅い減衰条件をL^P-normにて規定した条件下でNavier-Stokes方程式のenergy減衰について研究し新たな評価を得た。
三宅は解析的偏微分方程式におけるグルサ-問題(一般化された初期値問題)にテプリッツ作用素のスペクトル理論を適用し、従来知られていた可解性の為の条件(スペクトル条件)を大幅に緩めることに成功した。
中村は2次元空間の中の定磁湯中の2体のシュレディンガ一粒子のスペクトルについて調べ、特にスペクトルが絶対連続になる十分条件を、幾つか与えた。
小薗は弱解uがL^nに属し、かつ時刻t_0において解の時間変数についての左極限と実際の値の差が小さいならば、t_0の近傍で解は滑らかであることを証明した。さらにLorentz空間(より一般化されたL^P空間)において外部定常解を構成し、net forceの条件を仮定することなく、その安定性を示した。
加藤は非線形シュレ-ディンガー方程式の初期値問題で、初期値が遠方でexp(-x^2)のオーダーで減少しているとき、解の時空間解析性を示した。また非線形項に微分が入っている非線形シュレ-ディンガー方程式において、適当な非線形項の条件の下で、時間大域的な解析解を構成した。さらに線形の波動方程式において、係数が連続でないような場合にも適当な係数の条件の下で、正則性が伝播することを示した。
川下は非線形項にL^Pの方法を利用して圧縮性Navier-Stokes方程式の可解性に対するregularityの条件を大きく緩和した。

Research Products

• [Publications] Takayoshi Ogawa: "Global well-posedness and conservation laws for the water wave interaction equation" Proc.Roy.Soc.Edinburgh sect A. 127A No.2. 369-384 (1997)
• [Publications] Takayoshi Ogawa et al: "Energy decay problem of a weak solution for the Navier-Stokes equation with slowly varying external forces." Journal of Functional Analysis.144. 325-358 (1997)
• [Publications] aniella Bekiranov, et.al: "Weak solvability and well-posedness of a coupled Schrodinger-KdV equation for capillary-gravity wave interaction" Proc.Ameri.Math.Soc.125 NO/V. 2907-2919 (1997)
• [Publications] Takayoshi Ogawa: "Well-posedness of dispersive system on water waves interaction" Proc.Kowa-Japan PDE conference Eds H.J.Choe etal Lect Note. vol 39. (1997)
• [Publications] Masatake Miyake: "Teoplitz operators in the analytic Goursat problem" 京大数理科学研究所 講究録. 983. 47-59 (1997)
• [Publications] D.A.LUTZ., Masatake Miyake 他: "On the Borel summiability of divergent solutions of the heat equation" to appear in Nagoya Math.J.
• [Publications] A.Jensen, S.Nakamura: "The 2D Schrodinger equation for a neutral pair in a constant magnetic field" Ann.Inst.H.Poincare phys.rheo.67. 387-410 (1997)
• [Publications] Hideo Kosono, H.Sohr 他: "Representation formula, net force and energy relation to the stationary Navier-Stokes equations in 3-dimensional exterior domain" Kyusyu J.Math.51. 239-260 (1997)
• [Publications] Hideo Kozono, H.Sohr: "Regularity Criterion on weak solutions to the Navier-Stokes equations" Advantes in Diff.Equs.2. 535-554 (1997)
• [Publications] H.Hayashi, K.Kato: "Analytic in time and smoothing effect of solutions to nonlinear Schrodinger equation" Comm, Math.Phys.184. 273-300 (1997)
• [Publications] N.Hayashi, K.Kato: "Global existence of small analytic solutions to Schrodinger equations with quadratic nonlinearity" Comm.in P.D.E.22. 773-798 (1997)
• [Publications] Keiichi Kato: "Regularity of solutions to the wave equation with a non smoothing coefficient" SOT.J.Math.33. 105-113 (1997)
• [Publications] 岡本久・中村周: "岩波講座・現代数学の基礎 第7巻 関数解析I・II" 岩波書店, (1997)