相対論的シュレディンガー作用素に付随した一般化フーリエ変換について

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640212
• Research Institution: Himeji Institute of Technology
• Principal Investigator: 楳田 登美男 姫路工業大学, 理学部, 教授 (20160319)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 保城 寿彦 姫路工業大学, 理学部, 助教授 (40211544) ; 岩崎 千里 姫路工業大学, 理学部, 教授 (30028261)
• Keywords: スペクトル理論 / 散乱理論 / 相対論的シュレディンガー作用素 / 固有関数展開

Research Abstract

今年度の目標は、空間の次元が3で、粒子の質量パラメータが0のとき、相互作用のない相対論的シュレディンガー作用素のレゾルベント核を具体的な関数として求めること、および、相互作用のある相対論的シュレディンガー作用素の一般固有関数がリップマン・シュヴィンガー型の積分方程式を満たすことであった。今年度の研究実績の概要を以下に詳しく説明する。
近年、物質の安定性を量子力学の枠組みで数学的に厳密に論じる立場から、相対論的シュレディンガー作用素の有用性が注目されているが、本研究は相対論的シュレディンガー作用素を作用素論の視点からその性質を詳しく調べようとするものである。作年度までの本研究で構成された相対論的シュレディンガー作用素の一般固有値関数をさらに詳しく調べるために、まず、相互作用のない相対論的シュレディンガー作用素のレゾルベンと核を熱方程式型半群のラプラス変換を巧妙に計算することで求めた。このことと、極限吸収原理を示す際の計算過程で現れる作用素の逆作用素の存在を保証することで、相互作用のある相対論的シュレディンガー作用素の一般固有関数がリップマン・シュヴィンガー型の積分方程式を満たすことを示した。相対論的シュレディンガー作用素に対する適切な放射条件を見出だす必要があったが、思いがけない副産物が得られた。今年度の研究で論じている、質量パラメータが0の相対論的シュレディンガー作用素は一般の超関数に作用させることは出来ず、以前はオーダーが1/2のソボレフ空間の関数に対して作用させられるという結果が知られているのみであった(Lieb-Loss)。この結果は作年度の本研究で拡張されて、極限吸収原理が論じられるまでになったが、超関数論の立場からは未だ不満の残るものであった。本年度の研究では、このLieb-Lossの結果をさらに拡張することに成功し、緩増加な超関数の空間にまで作用させれられることが示された。尚、本年度の研究で得られた結果を2,3編の論文としてまとめるために現在執筆中である。

Research Products

• [Publications] 保城 俊彦: "Mourre's method and smoothing properties of dispersive equations"Communications in Mathematical Physics. 202. 255-265 (1999)
• [Publications] 保城 俊彦: "On the estimates for Helmholtz operator"Tsukuba Journal of Mathematics. 23・1. 131-149 (1999)
• [Publications] 楳田 登美男: "入門複素関数論"学術図書出版社. 160 (1998)