相対論的シュレディンガー作用素に付随した一般化フーリエ変換について

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640212
• Research Institution: HIMEJI INSTITUTE OF TECHNOLOGY
• Principal Investigator: 楳田 登美男 姫路工業大学, 理学部, 教授 (20160319)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 平野 克博 姫路工業大学, 理学部, 講師 (90316034) ; 保城 寿彦 姫路工業大学, 理学部, 助教授 (40211544) ; 岩崎 千里 姫路工業大学, 理学部, 教授 (30028261)
• Keywords: スペクトル理論 / 散乱理論 / 相対論的シュレディンガー作用素 / 固有関数展開

Research Abstract

今年度の目標は粒子の質量を表すパラメータが0のときに、相対論的シュレディンガー作用素の超関数への作用を詳しく調べることであった。とくに、重み付きソボレフ空間での作用を調べることに重点を置いた。以下に、今年度の研究実績の概要を説明する。
物質の安定性を相対論的量子力学の枠組みで数学的に厳密に論じる立場から、相対論的シュレディンガー作用素の有用性が1980年代以降、現在に至るまで注目を集めている。しかし、本研究は従来の研究とは異なり、作用素論の立場から相対論的シュレディンガー作用素の詳しい性質を明らかにしようとするものであり、この作用素に付随する一般化フーリエ変換の核としての一般固有関数のさまざまな性質を調べてきた。実は、その過程で、粒子の質量を表すパラメータが0のときには、この作用素の超関数への作用について、十分に研究されていないことに気付いた。そこで、超関数の空間の部分空間である重み付きソボレフ空間に絞って、相対論的シュレディンガー作用素の作用を調べた。得られた結果はいくつかある。まず、特筆すべきは、ラプラシアンの平方根(これが相対論的シュレディンガー作用素の主要部を成す)は急減少関数の空間から或る重みの付いた2乗可積分関数の空間への連続な写像にはなるが、急減少関数の空間への連続写像にはなり得なないことが示されたことである。ここで重要なのは、連続な写像となるための重みの限界となる数式が得られたことである。したがって、関数にラプラシアンの平方根を作用させたときに、無限遠でのオーダーの損失の度合いがわかることになった。この結果に基づいて、ラプラシアンの平方根の作用が連続となるための、定義域空間の重み付きソボレフ空間、および値域空間の重み付きソボレフ空間、それぞれについて重みを精密に記述することが出来た。
4年間にわたる本研究の締めくくりとして、今年度は国内外で積極的に講演発表した。一般固有関数、一般化フーリエ変換に関しては、7月にロンドンでの第13回国際数理物理学会、およびドイツ・クラウシュタールでの偏微分方程式2000において発表を行った。また、重み付きソボレフ空間での作用に関しては、ミュンヘン大学でのワークショップや国内での研究集会・セミナーにおいて発表を行った。

Research Products

• [Publications] 楳田登美男: "The Action of √<-Δ> on Weighted Sobolev Spaces"Letters in Mathematical Physics.
• [Publications] 楳田登美男: "Eigenfunction Expansions Associated with Relativistic Schrodinger Operators"Conference Proceedings of Partial Differential Equations 2000.
• [Publications] 岩崎千里: "Construction of the Fundamental Solution for a Degenerate Equation and a Local Version of Riemann-Roch Theorem"数理解析研究所講究録. 1156. 146-156 (2000)