1997 Fiscal Year Annual Research Report
周期的に動く境界条件をもつ発展方程式の初期値境界値問題の解の挙動の研究
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09640223
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
山口 勝 東海大学, 理学部, 教授 (10056252)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
楢崎 隆 東海大学, 理学部, 助教授 (70119692)
田中 実 東海大学, 理学部, 教授 (10112773)
杉田 公生 東海大学, 理学部, 教授 (60056083)
伊藤 達夫 東海大学, 理学部, 助教授 (20151516)
赤松 豊博 東海大学, 理学部, 教授 (00112772)
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| Keywords | 弦の振動 / 準周期解 / ディオファントス近似不等式 / 一次元波動方程式 / Lissajous境界条件 |
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| Research Abstract |
計画調書の研究目的の欄における「研究の目的」の項で述べられた諸問題の研究を推進し、以下のような研究成果を得た.
(x,y)-平面で両端点がリサージュの図形を描きながら動く場合の弦の振動の数学モデルは、周期境界条件と周期境界関数をもつ線形1次元波動方程式の初期値境界値問題(IBVP)で記述される.計画調書に提示した未解決問題の1つである「2つの端点のx-成分の周期の比が無理数となっている場合の解の挙動」を明らかにした.2つの境界関数によって表される単純な合成関数がこの問題で本質的な役割を果たすことは、以前の結果より知られている.それ自身興味のある次の2つの問題を解決することによって上記の結果を得た:
(1)この合成関数がPoincareの意味の'回転指数'を持つか?
(2)この合成関数に対してReduction Theoremが成立するか?
(1)の解決には、抽象力学系のエルゴード理論についての幾つかの結果(Weylの定理、Birkhoffのエルゴード定理)と関数解析の初等的な結果を用い、また(2)の解決には、古典力学系の変換理論(Kolmogorov-Arnold-Moser理論)を用いた.その際、従来この種の問題で考慮されなかった(1)の結果が本質的に使われている.
更に、上の線形波動方程式に時間周期的な線形非斉次項を付加した場合のIBVPの解の挙動についての結果を得た.この際、Reduction Theoremに現れるDiffeomorphismを用いて、D'Alembertianを保存しつつ、非柱状領域を非柱状領域に変換する新しい方法を用いて、すべての解の挙動を記述する定理を得た.
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[Publications] M.Tanaka & J.Itoh: "The dimension of a cut locus on a smooth Riemannian manifold" Tohku Math.Journal. (発表予定).
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[Publications] T.Narazaki: "Wave equations with strong damping in a noncylindrical domain" Functional Analysis and Global Analysis. 206-210 (1997)
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[Publications] M.Yamaguchi: "Quasiperiodic motions of vibrating string with periodically moving boundaries" Journal of Differential Equations. Vol.135. 1-15 (1997)
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[Publications] M.Yamaguchi: "Quasiperiodic behavior of vibrating string with the Lissajous boundary condition" Functional Analysis and Global Analysis. 278-287 (1997)
