1997 Fiscal Year Annual Research Report
量子ハミルトニアレのスペクトルに対する確率論的および統計学的アプローチ
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09640241
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
南 就時 筑波大学, 数学系, 助教授 (10183964)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
壇 和日子 筑波大学, 数学系, 助手 (40251029)
小林 孝行 筑波大学, 数学系, 助手 (50272133)
石川 保志 筑波大学, 数学系, 助手 (70202976)
梶谷 邦彦 筑波大学, 数学系, 教授 (00026262)
赤平 昌文 筑波大学, 数学系, 教授 (70017424)
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| Keywords | ランダム行列 / ランダム・スペクトル / 量子カオス / 準位統計 |
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| Research Abstract |
各成分が、同一の正規分布に従う確率変数からなるn次の実対称行列を考える。但し対称性による制約を除いては各成分は独立とする。行列X^<(n)>の固有値の数直線上での配列から得られる経験分布は、n→∞とするときWignerの半円則と呼ばれる確率分布に収束することが知られている。一方ランダム行列の固有値分布に対するこの種の極限定理を導く方法として、行列を値とする確率過程X^<(n)>(t)で、各時刻tにおける過程の分布が、はじめに与えたランダム行列の分布に一致するものを調べてはどうかというアイディアがF.Dysonによって提起されていた。近年になってT.Chan,L.Rogers,Z.Shi,Y.Takahashi等によりこのアイディアは確率解析の手法により厳密化された。彼らはX^<(n)>(t)の固有値(λ^<(n)>_l(t),...,λ^<(n)>_n(t))から成るn次元の拡散過程が満たす確率微分方程式を研究し、それを通じて固有値の経験分布のなす確率過程のn→∞における極限挙動を調べている。しかしながら彼らの議論はWignerの半円則の導出という形では最終的にはまとめられていないし、確率微分方程式の係数に特異性があることから、その解の存在を確かめるために必要以上に難しい解析を行っているように思われた。これに対し我々は、半円則の導出に話を絞る限り、(λ^<(n)>_l(t),...,λ^<(n)>_n(t))の満たす上記の確率微分方程式ではなく、経験分布のStieltjes変換が満たす、より易しい確率微分方程式を調べるだけで十分であることに注目し、従来の議論を簡単な見とおしのよいものにした。さらにその方程式は、行列X^<(n)>(t)のレゾルベントを考えることによりたやすく導かれることを示した。なお、この成果は大学院生の平塚剛氏との共同研究によるものである。
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[Publications] 赤平昌文: "An information inequality bound for the asymprotic variance of sequenrial estimation procedures of a linearly combined parameter and its attainmaint" Sequential Analysis. 16・1. 47-63 (1997)
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[Publications] 梶谷邦彦: "The Cauchy problem for Schrodingor type equations with variable cocfficients" Journal of the Mathemaried Society of Japan. 50・1. 179-202 (1998)
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[Publications] 石川保志: "Large deviation estimate of transition dansities for jump processes" Annales de E'Institut Henri Poincare-Probabilites of Stetistiga. 33・2. 179-222 (1997)
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[Publications] 小林孝行: "Cn a local energy decay of solutions for the equations of motion of compressible viscous and heat-conductive gases in an exterion domain in R^3" Tsukuba Journal of Mathematics. 21・3. 629-670 (1997)
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[Publications] 壇和日子・柴田良弘: "On the Lg-Lr estimate of the Srokes semigroup in a two dimensional exterior domain" Journal of the Mathematical Society of Japan. (掲載予定).
