確率解析とそのシュレディンガー作用素の解析への応用

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640259
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 松本 裕行 名古屋大学, 情報文化学部, 助教授 (00190538)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 上木 直昌 姫路工業大学, 理学部, 助教授 (80211069) ; 植村 英明 愛知教育大学, 教育学部, 助教授 (30203483) ; 森本 宏 名古屋大学, 情報文化学部, 助教授 (20115645) ; 小澤 正直 名古屋大学, 情報文化学部, 教授 (40126313) ; 井原 俊輔 名古屋大学, 情報文化学部, 教授 (00023200)
• Keywords: 確率解析 / シュレディンガー作用素 / セルバーグ跡公式 / 古典力学

Research Abstract

今年度は主としてセルバーグ跡公式に関して研究し,上半平面上の一様な磁場をもつシュレディンガー作用素と本質的に同じ作用素であるマ-スラプラシアンに対して確率解析を用いることによって跡公式の平易な証明を与えた.シュレディンガー作用素と考えることにより自然に対応する古典力学を考察する事になり,物理学者の経路積分を用いた議論の解釈,正当化も与えた.証明の際に1次元のモ-スポテンシャルをもつ作用素が現れ,対応するグリーン関数を具体的に求めたが、これも経路積分を用いた物理学者の議論を正当化したものになっている.跡公式により原理的にはスペクトルが求められたことになる.特に最小固有値に対しては,その多重度も込めて厳密に求まる.一般次元の双曲多様体上においても,通常のラプラシアンに対して同様のことが成立することを示した.
また対応する古典力学を定めるハミルトニアンが2次の多項式で与えられるシュレディンガー作用素のスペクトルに関してもメタプレクティック表現の理論を用いて研究を進めた.その結果,主要項がラプラシアンである場合にスペクトルを完全に決定することに成功した.特別な場合に応用することにより,レヴィの公式の古典力学の対応に基づいた証明を与え,複素エルミート多項式が通常のエルミート多項式の単なる類似物ではなく積分変換によって対応していることも示した。
これらの結果の一部については現在纏めている最中であり,近日中に発表の予定である.本研究に参加した分担者によって得られた成果については詳細を省略する.

Research Products

• [Publications] S.Ihara: "On the converse theorem in hypothesis testing for stationary Ganssion sefuences" Studies in Infrom. and Sciences,Nagoya Univ.5. 19-27 (1997)
• [Publications] M.Ozawa: "Phase Operator Problem and Macroscopic extension of fuantum mechanics" Ann.Phys.257. 65-83 (1997)
• [Publications] M.Ozawa: "An operational approach to guantum state resuction" Ann.Phys.259. 121-137 (1997)
• [Publications] H.Morimoto: "Evolutionary game theory with mutations for finite populations" Studies in Inform. and Sciences,Nagoya Univ.5. 117-130 (1997)