変数次数の生成作用素に対するマルチンゲ-ル問題

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640287
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Osaka City University
• Principal Investigator: 小松 孝 大阪市立大学, 理学部, 教授 (80047365)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 根来 彬 静岡大学, 工学部, 教授 (80021947) ; 西尾 昌治 大阪市立大学, 理学部, 講師 (90228156) ; 小森 洋平 大阪市立大学, 理学部, 助手 (70264794) ; 平場 誠示 大阪市立大学, 理学部, 助手 (30260798) ; 釜江 哲朗 大阪市立大学, 理学部, 教授 (80047258)
• Keywords: マルコフ過程 / 擬微分作用素 / 確率微分方程式 / ソボレフ空間 / マルチンゲ-ル / マリアバン演算法 / 飛躍型確率過程 / 確率密度関数

Research Abstract

本研究課題に関して、平成9年度の研究計画に挙げていた事柄は、(1)考察対象の変数次数の擬微分作用素に適応したSobolev空間を定義し、その解析を通して、飛躍型のMarkov過程との対応を調べること、(2)変数次数や退化型の非局所的な生成作用素に対応するMarkov過程の推移確率について、その密度関数の存在性や正則性を、Poisson空間上のMalliavin演算法的な方法で調べること、等であった。
(1)に関しては、下の研究発表の欄に記したNegoro-Kikuchiの論文において、変数次数擬微分作用素に適応したSobolev空間解析により、ある条件の元で、その作用素にFeller過程が対応することを示し、更に、その過程の道の振動度合についての確率的評を得た。これは、以前 Jacobが得た結果を発展させたものであり、本研究代表者Komatsuが、これとは異なる設定の元で示した定理とも大きく関係している。この種の解析に密接に関連するものでは、Hohの論文やSchillingの論文が発表予定となっており、上記の成果はこれらに先駆けるものである。
(2)に関して、研究代表者Komatsu等は、雑誌論文の形では未発表であるが、研究会・学会で、「飛躍型SDEの解の確率密度関数の存在条件」という題で、次の様な成果を口頭発表した。飛躍を含んだ確率微分方程式を考えることにする。その係数によって生成される、飛躍変数のベクトル値関数のある族を考える。この族の属するベクトル値関数の空間的拡がりの漸近挙動が一定程度以上あれば、方程式の解の確率密度関数が存在する。この結果はBismutと同様の手法で出発しながらも、Leandre等が考察から除外していた場合について調べたものであり、豊富な例を挙げることが出来る。
上記以外に、本研究の分担者達は下の研究発表の欄に記した様々な成果を得ている。

Research Products

• [Publications] A.Negoro,K.Kikuchi: "On Markov process generated by pseudodifferential operator of variable order" Osaka J. Math.34. 319-335 (1997)
• [Publications] T.Kamae,M.Keane: "A simple proof of the ratio ergodic theorem" Osaka J.Math.34. 653-657 (1997)
• [Publications] S.Hiraba: "Asymptotic behavior of hitting rates for absorbing stable motions in a half space" Osaka J.Math.35. (1998)
• [Publications] Y.Komori: "Semialgebraic Description of Teichmuller Space" R.I.M.S.Kyoto Univ.33. 527-571 (1997)
• [Publications] M.Nishio,K.Shimomura,N.Suzuki: "A mean value property of poly-temperatures on a strip domain" J.London Math.Soc.(to appear).