総実代数体のグリーンバーグ予想とp進ゼータ関数についての研究

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09740003
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 田谷 久雄 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助手 (40257241)
• Keywords: 岩澤不変量 / Greenberg予想 / p進ゼータ関数 / p進L関数 / Z_p拡大

Research Abstract

p進L関数を一つの拠り所として、総実代数体のGreenberg予想の研究を中心に行った。
まず、実2次体の円分Z_p拡大体のアンビグ類群とp進ゼータ関数の特殊値との関係が、一般の総実代数体でも(Leopoldt予想の下で)成立していることを示した。これとGreenbergの結果を合われば、この予想が「ある種の代数的量と解析的量の一致」という現象と同値と言える。またこの結果によって、p次総実非アーベル体のpについてのGreenberg予想の検証も新たに可能となり、福田、小松、尾崎両氏との共同研究であるp次拡大体のλ_p-不変量の研究も一歩前進した。この成果は早大の数論研究集会で報告した。この結果実アーベル体のχ-part版への移行は現在考察中である。
次の実アーベル体の場合であるが、Z_p拡大体の岩澤不変量とp進L関数に付随する不変量との間の関係を考察し、これが一致しないための必要十分条件をp進L関数の言葉で与えた。特に対応する岩澤多項式が既約である場合には、Greenberg予想とP進L関数との関係が導き出せる。この研究は尾崎氏との共同研究として日本数学会で報告した。
最後に、昨年度から行っているGreenberg予想が成立する無限族に関する研究では、これまでの議論を統一的に扱える結果が得られた。これによって、また新たな実2次体のλ_2=0となる無限族の存在がわかった。今後は実2次体で奇素数pについてλ_p=0となる非自明な無限族の考察もして行きたい。これも尾崎氏との共同研究として津田塾大の数論シンポジウムで報告した。

Research Products

• [Publications] 田谷久雄(単著): "ある総実代数体のZ_p-拡大体とp進ゼータ関数について" 早稲田大学研究集会報告集-整数論-. VIII. 30-39 (1997)
• [Publications] Takashi Fukuda(共著): "On Iwasawa λ_p-invariants of relative real cyclic extensions of degree p" Tokyo Journal of Mathematics. 20・2. 475-480 (1997)
• [Publications] Manabu Ozaki(共著): "On the Iwasawa λ_2-invariants of certain families of real quadratic fields" Manuscripta Mathematica. 94・4. 437-444 (1997)
• [Publications] Hisao Taya(単著): "On p-adic zeta functions and Z_p-extensions of certain real abelion number fields" Tohoku Mathematical Journal. (発表予定).