ゼータ関数の高階導関数の漸近的挙動の解明とその応用

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09740035
• Research Institution: Kagoshima University
• Principal Investigator: 桂田 昌紀 鹿児島大学, 理学部, 助教授 (90224485)
• Keywords: ゼータ関数 / L関数 / 漸近展開 / 特殊値

Research Abstract

以下,本稿ではζ^<(k)>(s)でRiemannゼータ関数のk階導関数(k=0,1,2,...)を表わす.本年度の研究成果を以下の五項目に分けて述べる.
1. ^<(k)>(s)(k【greater than or equal】1)の二乗平均の誤差項 E(T;k)に対するAtkinson
この方面の予備的成果として,一般化された約数関数d^<(h,k)>(n)=Σ_<(lm=n)>log^hllog^km(h,k=0,1,2,...)に関するVoronoi型和公式が証明されている.今後はこの和公式をもとに,最終目標であるE(T;k)のAtkinson型公式を確立したい.
2. ^<(k)>(s)^2(k【greater than or equal】1)の近似関数等式の導出とその剰余項R(s;k)の確
この方向では,近似関数等式の確立の基礎となるζ(s-a)ζ(s-b)(a,bは複素パラメタ)のTitchrnarsh型級数表示の導出は完了した.今後はこの級数表示をもとに,ζ^<(k)>(s)^2の近似関数等式の証明し,さらにはその剰余項 R(s;k)を十分満足できる形に評価したい.
3. 重み付き積分によるζ(s)の二乗平均へのアプローチ
ζ(s)の二乗平均を扱う際,重み付き積分∫^∞_<-∞>|ζ(σ+i(T+t))|^2e^<-(t/Δ)^2>dt(Δ>0はパラメタ)から出発する方法が有効である.本研究者は,名古屋大学・松本耕二氏とともに,この方法をDirichlet L関数の場合に応用した.その成果は英文論文として欧文会議録に発表予定である.
4. Lerchゼータ関数に付随した羃級数・漸近級数の研究とその応用
本研究者はζ(s)の一般化であるLerchゼータ関数φ(λ,α,s)(λ,αは実パラメタでα>0)のパラメタαに関する羃級数及び漸近級数をMellin-Barnes型積分表示を用いて導出し,さらにそれらが種々の応用を持つことを示した.結果は英文論文として欧文学術雑誌に発表した.
5. ζ(s)の正の奇数点における特殊値に付随した変換公式の解明
ζ(2n+1)(n=1,2,...)の急収束する級数表示については,古典的なWiltonの公式[Messenger Math.(1922/23)]や,最近Cvijovic & Clinowski [Proc.Amer.Math.Soc.(1997)]によって得られた公式が有名であるが,本研究者はMellin-Barnes型積分の導入により,これらの級数表示が,ある種の変換公式の特別な場合として捉えられることを発見した.結果は英文論文として欧文学術雑誌に発表予定である.

Research Products

• [Publications] Masanori Katsurada: "An application of Mellin-Barnes type of integrals to the mean square of L-functions" Lietuvos Matematikos Rinkinys. 38. 98-112 (1998)
• [Publications] Masanori Katsurada: "Power series and asymptotic series associated with the Lerch zeta-function" Proceedings of the Japan Academy. 74,Ser.A. 167-170 (1998)
• [Publications] 桂田 昌紀: "Hurwitz ゼータ関数の導関数の二乗平均値に関するある漸近公式" 京都大学数理解析研究所講究録. No.1060. 66-90 (1998)
• [Publications] Masanori Katsurada: "A weighted integral approach to the mean square of Dirichlet L-functions" “Number Theory and its Applications,"Gyory and Kanemitsu (Eds.),Kluwer. (in press).
• [Publications] Masanori Katsurada: "Rapidly convergent series representations for ζ(2n+1)and their χ-analogue" Acta Arithmetica. (to appear).
• [Publications] Masaaki Amou: "Irrationality results for values of generalized Tschakaloff series" Journal of Number Theory. (in press).
• [Publications] Shigeru Kanemitsu: "On the Hurwitz-Lerch zeta-function" Aequationes Mathematicae. (to appear).
• [Publications] Masanori Katsurada: "Rapidly convergent series representations for ζ(2n+1)and their χ-analogue" Surikaisekikenkyusho (R.I.M.S.)Kokyuroku. (in press).