1997 Fiscal Year Annual Research Report
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09740055
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
足立 俊明 名古屋工業大学, 工学部, 助教授 (60191855)
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| Keywords | circl / length spectrum / geodesic curvature / complex torsion |
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| Research Abstract |
研究の第一段階として複素射影空間と複素双曲空間の円の周期を考察した。
ユークリッド空間や球面、双曲空間という実空間形上では、曲率が等しい円は同じ長さを持つ。しかも同じ長さを持つ円は互いに合同、すなわち等長変換で移りあえる。また、測地線(曲率0の円)については、球面や複素射影を含むコンパクトな階数1の対称空間上で、すべて閉じていて同じ長さを持つことが知られている。そこで、
1)複素空間形上では、同じ長さを持つ(等しい曲率の)円は互いに合同か?
2)もし合同でなければ、同じ長さを持つ合同類はどの程度あるのか?
3)合同類を基準として長さは数直線上どのように分布しているのか?という問題を考察した。
まず円の長さと合同性との関係について。実空間形の場合と異なり同じ長さと同じ曲率を持つ互いに合同ではない円が多く発見された。これは複素空間形の場合には円が底空間の複素構造を強く反映することによるものである。同じ長さを持つ円の合同類の数は、古典的整数論と関係し、長さを決めれば有限個であるが、長さを大きくしていくにつれて増大し、非常にゆっくりではあるが発散することがわかった。
次に長さの分布について。すべての円を対象にした場合、長さの集合は実直線の正の部分全体になる。その様子について、複素射影空間の場合は、重複度(同じ長さを持つ合同類の数)が1の区間が1部あるが、その他では2以上である。一方、複素双曲空間では、重複度は2以上で単調に増加し、重複度の変化の大きさも一様有界ではない。また曲率を一つ固定した場合には、長さの集合は離散的になり、複素射影空間では正則円が最小、実円が2番目の長さ、複素双曲空間では実円が最小になっている、などの結果を得た。
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[Publications] T. Adachi: "Extrinsic shape of circles and standard immbedings of projective space" manuscripta mathematica. 93・2. 267-272 (1997)
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[Publications] T. Adachi: "Length spectrum of circles in a complex projective space" Osaka. Journal of Mathematics.
