自由境界問題と像処理法の変分問題における特異点の特徴づけ微小構造

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09740093
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: WEISS Georg S. 東京工業大学, 理学部数学科, 助手 (30282817)
• Keywords: 自由境界 / blow-up極限の一意性 / 半線形熱方程式 / Hausdorff測度評価 / 単調性公式 / epiperimetric inequality

Research Abstract

1 Hi-Jun Choe氏と半線形の熱方程式の非負の解を考察し、解のoptimalな正則性と非退化と自由境界のHausdorff測度の評価を証明した。非線形の項の指数が正のときは、さらに、ノントリビアルなself-similarな解の非存在により自由境界を二つの部分にわけることができる:時間のみに依存する解が一意のblow-up極限になっている閉集合Hと、任意のblow-up極限がsteady-state solutionになっている補集合。それに続いて、Hがn次元のLipschitz超曲面に含まれることを証明した。最後に、空間一次元のとき、自由境界の正規部分が開集合で、Holder連続な超曲面になることを示した。
2 上記の問題では、自由境界のHausdorff次元1を持つ特異部分の正則性を扱った。
3 Reifenbergのepiperimetric inequalityという概念を使うことにより、障害物問題の解のenergy decayとblow-up極限の一意性を導きだした。帰結として、この半線形の等方性のある自由境界問題について、実解析と抽象解析の方法のみによって自由境界の正則性を証明することに成功した。多くの場合、解の特異点での漸近的なbehaviourもそれで特徴づけることができる。

Research Products

• [Publications] Georg S.Weiss: "Partial Regularity for Weak Solutions of an Elliptie Free Boundary Problem" Communications in Partial Differentinl Equatious. to appear.
• [Publications] Georg S.Weiss: "Structural properties of a semilinear equation with Pree loourdary" Proceedings of the International Conference on Asymptotscs in Noulius Diffusive System. (to appear).