消える熱源を持つ準線形放物型方程式の局所解または大域解の存在・非存在

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09740120
• Research Institution: Kokushikan University
• Principal Investigator: 鈴木 龍一 国士舘大学, 工学部, 講師 (00226573)
• Keywords: 放物型方程式 / 解の爆発 / 準線形放物型方程式 / Cauchy問題 / Dirichlet 問題 / 爆発後の解 / 完全爆発

Research Abstract

今年度は、準線形放物型方程式u_t=△u^m+f(u)のCauchy問題とDirichlet問題について研究した。ただし、m【greater than or equal】1、f(u)は非負で爆発条件を満たすとする。この時、初期値u_0(x)【greater than or equal】0が十分大きい時解は有限時間で爆発することが良く知られている。すなわち、爆発時刻をt_b(u_0)とすると、lim_<t↑tb(uo)>)||u(・,t)||_∞=∞となる。我々は爆発後の解について次のような結果を得ることができた。
1、もし△u^m_0+f(u_0)【greater than or equal】0が成り立つ時、解はt_b(u_0)で完全爆発する、すなわち、u(・,t)≡∞ t>t_b(u_0)である。ただし、m>1の時、初期値u_0に対し考えている領域の境界の近くまたは|x|=∞の近くでの単調性についての仮定等が必要である。
2、f(u)=u^p、1<p/m<(N+2)/[N-2]+の時、解はt_b(u_0)で完全爆発する。ただし、Cauchy問題の場合には、初期値u_0に対し|x|=∞の近くでの単調性についてのある仮定が必要である。
上の二つの結果はm=1のときBaras-Cohenによって得られているが、彼らの方法はm>1の場合には適用できない。
今後は、これらの結果や方法を利用して、科研費研究課題の研究を進めていく予定である。

Research Products

• [Publications] K.Mochizuki and R.Suzuki: "Critical exponent and critical blow-up for quasilinear parabolic equations" Israel J.Math.98. 141-156 (1997)
• [Publications] R.Suzuki: "Existence and nonexistence of global solutions to quasilinear parabolic equations with convection" Hokkaido Math.J.27. 147-196 (1998)