| Research Abstract |
今年度は,初期値がu_0(x)である方程式u_t-△u^m=K(x)u^pのCauchy問題の非負解について考えた。ただし, p>m【greater than or equal】1,u_0(x)【greater than or equal】0,∈C(R^N)で,K(x)=KD(x)としてσ∈(-∞,∞)に対して
K_D(x)=〓{|x|^σ x∈D∩{|x| 1}}0 その他,σ=-∞の時K_D(x)={1|x|【less than or equal】1 0|x|>1}
であるものを考える。ここで,DはR_Nまたは,原点を中心とする錐領域D={x∈R^N＼{0};x/|x|∈Ω},Ω(≠φ)⊂S^<N-1>はS^<N-1>内の境界が滑らかな領域である。このとき,a^*_σ=max{σ/(p-1),(-2)/(m-1)},P^*_<m,σ>=m+(2+max{σ,-N})/N,α^*_σ=(2+max{σ,-N})/(p-m)=(N(P^*_<m,σ>-m))/(p-m)とすると,このCaucy問題の局所解と大域解の存在,非存在について次のようなほぼ完全な結果を得ることができた。すなわち,簡単にいうと1,a^*_σは局所解についてのcritical exponentである。2,P^*_<m,σ>(>m)は大域解についてのcritical exponentである。3,α^*_σは,初期値u_0(x)の|x|→∞の時の増大度に関するもう一つのcritical exponentである。ただし,critical exponentとは,global existence caseとblow-up caseを分ける数の事をいう。
このように,局所解と大域解の存在,非存在について明らかにするという今年度の研究目的はCauchy問題についてはほぼ完全に達成された。
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