1997 Fiscal Year Annual Research Report
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09874023
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
伊藤 仁一 熊本大学, 教育学部, 助教授 (20193493)
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| Keywords | 多面体 / リーマン多面体 / 曲率 / Bonnesonの不等式 / 離散ラプラシアン |
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| Research Abstract |
多面体をリーマン幾何的にとらえ、古典的曲面論やリーマン幾何の結果や問題が多面体でどのようになっているのかを調べることを目的とした。現在、以下のような結果が得られ、今後、多面体の幾何がリーマン幾何の研究方法の1つとして確立していくことが期待される。
多面体におけるGaussの驚異の定理: 3次元ユークリッド空間内の多面体に内在的曲率と外在的曲率との2つが自然に定義され、ある仮定の下では等しく、そうでない病的な例も多面体では存在する。一般次元のとき余次元が1の多面体では、同様の結果が得られた。更に、一般の余次元の場合にも外在的曲率が極めて複雑となるが、大体の証明方針をたてることができたので来年度にはまとめる予定である。
多面体のBonnesen型不等式: 凸多面体Pにたいして不等式v(a)r^3-Mr^2+Ar-V<0が成り立つ。ここで、v(a)は、Pの単位外法ベクトルの集合がみたす性質によって決まる値であり、VでPの囲む体積を、Aで表面積を、rで最大内接球の半径を表し、Mは面角と辺の長さから決まる値であり、平均曲率の積分に相当するものと思われる。また、一般次元でも同様な不等式が得られ、滑らかな場合の対応する不等式が興味深い。
ラプラシアンの多面体的離散化: R^nの格子グラフにおいて、離散ラプラシアンのディリクレ境界値問題を考え、Faber-Krahnの定理のアナロジーを得た。第1固有値をλ_1とかくと、格子グラフGに対して、不等式λ_1(G)>λ_1(G^*)を満たす頂点数が等しい大体丸い格子グラフG^*が存在する。これは、格子グラフに面を貼り、R^nを表す多面体とみなした場合のFaber-Krahnの定理の離散化と思われる。また、Hadamard多様体的なグラフでも同様の結果が得られるので、Hadamard多様体でのアナロジーが期待される。
グラフの全曲率: 空間内のグラフにおいて全曲率をその管状近傍におけるある種の全曲率と定義し、空間グラフの構造と全曲率との関連を調べることに、上述の多面体における外在的曲率が有効であることが分かった。
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