モデュライの研究と応用

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10304002
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 丸山 正樹 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50025459)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 斎藤 政彦 神戸大学, 大学院・理学研究科, 教授 ; 森脇 淳 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70191062) ; 吉田 敬之 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40108973) ; 西田 吾郎 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00027377) ; 上野 健爾 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40011655)
• Keywords: モデュライ / ベクトル束 / 安定層 / 変形 / Bogomolovの不等式

Research Abstract

射影平面上の階数2の安定ベクトル束で次数が1のものについて、第2種の例外直線という概念がHulekによってどうにゅうされ、この直線の集まりが双対平面上で曲線になることが知られている.この曲線は元のベクトル束の性質を強く反映している、従って射影平面上の階数2の安定ベクトル束で次数が1のもののモデュライの研究に重要な役割を果たす.この曲線の挙動を調べるために、その特異点の形状の研究は欠かせない.丸山は特異点の重複度の計算、tangent coneの計算についてほぼ決定的な結果を得た.また、正標数の場合の半安定層の有界性はモデュライについて残っている最も重要な問題の一つであるが、階数4以上で未解決である.丸山は射影空間の場合について、低い階数ならばこれまでの手法に初等変換の手法を組み合わせることで、解決の見込みがあることを示した.
石井亮は、有理2重点上の反射的加群の変形の空間を考え、そこに現れる特異点を研究して興味ある結果を得ている.森脇淳は半安定ベクトル束の基本定理であるBogomolovの不等式を一般化し、安定曲線のモデュライとの関係で興味ある結果を得た.また、算術的な高さ函数についても深い結果を得ている.
モデュライに関わる研究会を2度開催した.一つは京都大学理学研究科数学教室において開かれた「アラケロフ幾何とその周辺」であり、他方は「非可換ホッジ理論とベクトル束」で賢島研修センターを利用した.前者については、報告集が既に出版されている.後者の報告集は来年度の研究費で出版する予定で準備を進めている.
来年度は、半安定層の有界性に力を注ぎ決定的な結果を得ることに集中したい.

Research Products

• [Publications] 森脇淳: "Relative Bogomolov's inequality and the cone of positive divisors on the moduli space of stable curves" Journal of American Mathematical Siciety. 11. 569-600 (1998)
• [Publications] 齋藤政彦: "On the Mirror Symmetry Conjecture for Schoen's Calabi-Yau 3-folds" Proc.of Taniguchi Symp,Integrable Systems and Algebraic Geometry. 194-235 (1998)
• [Publications] 丸山正樹: "Moduli of Algebraic Vector Bundles" Cambridge University Press, (2000)