特異形状を生む拡散効果の非線形解析

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10304010
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 儀我 美一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70144110)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 小俣 正朗 金沢大学, 理学部, 助教授 (20214223) ; 伊藤 一男 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (20280860) ; 神保 秀一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80201565) ; 佐藤 元彦 室蘭工業大学, 工学部, 助教授 (30254139) ; 小林 亮 北海道大学, 電子科学研究所, 助教授 (60153657)
• Keywords: 等高面法 / 粘性解 / 非局所的拡散効果 / 適正粘性解 / 異方性

Research Abstract

等高面法は、偏微分方程式によって記述される曲面の運動を追跡する上で重要であり、既に多くの数値計算が行われている。ここでは、1階の偏微分方程式の解を、そのグラフを曲面とする曲面の運動としてとらえ、不連続解を、等高面法により定式化した。これにより、従来、とらえにくかった不連続性を含む粘性解を数値的に計算する道を開いた。しかし、ここで扱われた問題はバーガース方程式のように初期値が連続であるにもかかわらず有限時間で特異性を生じるような問題については扱えなかった。それについては不連続性(ショック)の速度をコントロールする条件を課した。適正粘性解という概念を導入して、ある程度解の一意性、粘性消滅法による解の存在を示すことに成功した。
この不連続性を従来から研究してきた非局所的拡散効果に実は関係あり、不連続性は解のグラフを考えたとき、垂直方向の非局所的拡散効果の結果であることもわかった。
このほかにも、金属粒界の運動を記述する表面分子拡散方程式と体積保存平均曲率方程式の中間的要素をもつ方程式により、体積保存平均曲率流の解が近似できることも厳密に示すことができた。
結晶成長では、さまざまな異方性効果があるので、現象が複雑になるが、動的異方性と表面エネルギーの異方性を区別して、あらわれる現象が、どの効果によるものかを、小林亮氏との研究で明確に述べた。
流体力学の基礎方程式については空間無限大で減衰しない初期値についての局所解および2次元での大域古典解の構成に成功し、新分野を築いた。

Research Products

• [Publications] Y. Giga: "Alevel set approach to semicontinuous viscosity solutions for Cauchy problems"Comm.in Partial Differential Equations. 26. 813-839 (2001)
• [Publications] Y. Giga: "On the motion by singular interfacial energy"Japanese J. Ind. Appl. Math.. 18. 231-248 (2001)
• [Publications] R. Kobayashi: "On anisotropy and curvature effects for growing crystal"Japanese J. Ind. Appl. Math. 18. 207-231 (2001)
• [Publications] M. H. Giga: "Generalized motion by nonlocal curvature in the plane"Arch. Rational. Mech. Anal. 159. 295-333 (2001)
• [Publications] Y. Giga: "Global existance of two-dimensional Navier-Stokes How with ondecaying initial velocity"J. Math. Fluid Mech.. 3. 302-315 (2001)
• [Publications] Y. Giga: "Quasi-statil evolation of 3-D crystal growth for supersaturated water"Differential Integral Equctioas. 15. 1-15 (2002)