2000 Fiscal Year Annual Research Report
非線形偏微分方程式系の大域理論をめざしての総合的研究
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10304012
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| Research Institution | KYOTO UNIVERSITY |
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Principal Investigator |
西田 孝明 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70026110)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中尾 充宏 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10136418)
岡本 久 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40143359)
国府 寛司 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50202057)
堤 正義 早稲田大学, 理工学部, 教授 (70063774)
小薗 英雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00195728)
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 / 大域的分岐構造 / 退化特異点からの分岐 / 力学系 / 計算機援用証明法 / Navier-Stokes方程式 / 熱対流問題 / 縮約系の大域的解析 |
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| Research Abstract |
(1)熱対流問題:上下の境界平面上でStress freeの境界条件を持つ場合について、大域的に分岐曲線を追跡し、解空間の大域的な分岐構造を解明するために、解析的基礎理論及び計算機援用証明法の研究を行い、パラメーターの値に対応した解の存在を保証する判定法を提出した。Roll型解に対してその方法を適用し証明した。更に、空間3次元の場合のパターン形成として、Roll型解のみならず、長方形型、六角形型の解の分岐曲線の追跡、それらの安定性、それによる分岐構造の解明のための数値解析を行った。
(2)Conley index理論で力学系の大域的構造のパラメータによる変化を記述する際に重要となるtransition matrixの理論を、特異摂動的ベクトル場の余次元2以上の退化した場合のconnecting orbitの存在をも検証できるように整理し一般化した。
(3)2次元のchannelにおける流れについて、Navier-Stokes方程式から導かれるProudmann-Johnson方程式を考え、斉次境界条件の場合には解の爆発が起きないことを証明した。これは10年間ほど解答が望まれてきた問題であった。
(4)非線形楕円型方程式の解に対する分岐曲線の精度保証付き計算として、燃焼に関するパラメータに依存する非線形楕円型方程式(perturbed Gelfand方程式)について、その球対称解に対する分岐曲線自体を精度保証付きで包み込む方法を提案し、検証した。
(5)3次元外部領域のNavier-Stokes方程式の定常解の安定性について、net forceがゼロであるという不自然な条件を克服するために、全空間R^nにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し、Navier-Stokes方程式を解くことに成功した。実補間空間の利点は、両立対の空間からより広い空間が得られることであり、これにより、Lorentz空間L^<p,q>(Ω)において外部定常解を構成し、net forceの条件を仮定することなく、その安定性を示すことができた。
(6)外部磁場の下での超伝導状態の時間的変化を記述する、時間依存のGinzburg-Landau方程式に対する初期境界値問題の大域解の一意存在定理および時間無限大での漸近挙動を精緻に調べた。
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Research Products
(6 results)
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[Publications] Takaaki Nishida: "Pattern Formation of Heat Convection Problems, Proceedings of International Symposium"Lecture Notes in Computational Science and. 5. 1-10 (2000)
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[Publications] Hiroshi Kokubu: "On transition matrices"Proceedings of the International Conference on. 146. 219-224 (2000)
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[Publications] Hisashi Okamoto: "Global existence of solutions to the Proudman-Johnson equation"Proc.Japan Acad.. 76. 149-152 (2000)
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[Publications] Nakao Mitsuhiro: "Numerical verification method for solutions of the perturbed Gelfand equation"Methods and Applications of Analysis. 7. 251-262 (2000)
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[Publications] Hideo Kozono: "Asymptotic stability of large solutions with large perturbation to the Navier-Stokes"J.Func.Anal.. 176. 153-197 (2000)
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[Publications] Masayoshi Tsutsumi: "On the Cauchy problem of the time dependent Ginzburg-Landau equations in R^3"Gakuto International Series Mathematical Sciences. 14. 1-10 (2000)
