アソシエーションスキームとスピンモデル

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10440011
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 坂内 悦子 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (00253394)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 伊藤 達郎 金沢大学, 理学部, 教授 (90015909) ; 宗政 昭弘 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (50219862) ; 坂内 英一 九州大学, 大学院・数理学研究科, 教授 (10011652) ; 野村 和正 東京医科歯科大学, 教養部, 教授 (40111645)
• Keywords: アソシエーションスキーム / スピンモデル / Bose-Mesner代数 / symmetric design / SDP

Research Abstract

本研究は 4-weight スピンモデルに結びついている組合せ論的な対象を具体的に捕らえることを目標としている.研究代表者,坂内悦子により 4-weight スピンモデルに現れる type II 行列達は全て同一の自己双対的なアソシエーションスキームを与える事が示された.しかし現在迄の所 2-weight スピンモデルに Gauge 同値でない様な 4-weight スピンモデルを構成する事にはまだ成功をしていない.Guo-Huang は 4-weight スピンモデルに現れる行列の内,偶であるものの成分が丁度2種類の複素数である様な場合には対称なデザインが関係している事を発見したが,坂内悦子-澤野光弘はさらにこの場合についての研究を行い対称なデザインが上記の性質を満たす4-weight スピンモデルを持つための必要十分条件を与える事に成功した.またこの必要十分条件を満たす可能性のある対称でデザインのパラメターの例をいくつか与えた.そのパラメターは大きく言うと symmetric difference property(SDP)を持つ対称なデザインのパラメターと全く同じもの(この場合は点の個数は2巾になっている)と点の個数が4の倍数でないものの2種類にわける事ができる.2-weight スピンモデルである Potts モデルのテンソル積として得られるスピンモデルは前者と同じパラメターを持っている.SDP を持つ対称なデザインのパラメターと同じパラメターを持つ対称でザインで上記の必要十分条件を満たす様なものが存在するかどうか,その場合にその対称デザインはSDPを満たすのか否か,等興味深い問題を探るために(16,6,2)対称でザインについて調べた.このパラメターをもつ対称なザインは全部で4種類ありそのうちの一つだけがSDP を満たす(2つのPotts モデルのテンソル積)ことが知られているが,坂内悦子はその他の3つの対称デザインは 4-weight スピンモデルを与えない事を示した.

Research Products

• [Publications] Etsuko Bannai: "Bose-Mesner algebras associated with four-weight spin models"Graphs and Combinatorics.
• [Publications] Ei. Bannai, Et. Bannai, Michio Ozeki and Yasuo Teranishi: Europ. J. Combinatorics. 20. 619-627 (1999)
• [Publications] Eiichi Bannai: "Modular invariance property of association schemes, Type II codes over finite rings and finite abelian groups, and reminscences of Francois Jaeger(a survey),"Ann. Inst. Fourier. 49. 763-782 (1999)
• [Publications] Ei. Bannai, S. T. Dougherty, M. Harada and M. Oura: "Type II codes, even unimodular lattices and invariant rings"IEEE Trans. Inform. Theory. 45. 1194-1205 (1999)
• [Publications] A. Munemasa and M. Kitazume: "New 5-designs with automorphism group PSL(2,23),"J. Combinatorial Designs. 7. 147-155 (1999)
• [Publications] A. Munemasa and J. H. Koolen: "Tight 2-designs and perfect 1-codes in Doob graphs"J. Stat. Planning and Inference. (to appear).
• [Publications] Akihiro Munemasa: "Flag-transitive 2-designs arising from line-spreads in PG(2n-1,2)"Geometriae Dedicata. 77. 209-213 (1999)
• [Publications] A. Munemasa S. T. Dougherty, P. Gaborit, M. Harada and P. Sole: "Type IV Self-Dual Codes over Rings"IEEE Trans. Inform. Theory. 45. 2345-2360 (1999)
• [Publications] H. Ishibashi, T. Ito and M. Yamada: "Terwilliger Algebras of Cyclotomic Schemes and Jacobi Sums"Europ. J. Combinatorics. 20. 397-410 (1999)
• [Publications] Kazumasa Nomura: "Type II matrices of size five"Graphs and Combin. 15. 79-92 (1999)
• [Publications] K. Nomura and F. Jaeger: "Symmetric versus Non-symmetric spin models for link invariants"J. Alg. Combin. 10. 241-278 (1999)
• [Publications] K. Nomura and B. Curtin: "Some formulas for spin models on distance-regular graphs"J. Combin. Theory(B). 75. 206-236 (1999)
• [Publications] Kazumasa Nomura: "Spin Models and Bose-Mesner Algebras"Europ. J. Combin.. 20. 691-700 (1999)
• [Publications] K. Nomura and T. Ikuta: "General form of non-symmetric spin models"J. Alg. Combin.,. (to appear.).
• [Publications] Ei. Bannai, Et. Bannai, Michio Ozeki and Yasuo Teranishi: "On the ring of simultaneous invariants for the Gleason-Mac Williams group,"Europ. J. Combinatorics. 20. 619-627 (1999)
• [Publications] 坂内英一・坂内悦子: "球面上の代数的組合せ理論"シュプリンガーフェアラーク東京. xvi+367 (1999)